n이 자연수라는 조건에서는 참인 명제예요. 예시 답안이 n을 실수로 바꾼 뒤에도 같은 대우 증명을 썼다면 무엇을 확인해야 할까요?
자연수 n이 홀수이면 n=2k+1로 나타낼 수 있고, n²=2(2k²+2k)+1도 홀수예요. 이 대우로 원래 명제가 참임을 알 수 있어요.
실수에서는 짝수와 홀수 두 경우만으로 모든 값을 나눌 수 없어요. 짝수·홀수는 정수의 성질이며 √2처럼 어느 쪽도 아닌 실수가 있어요.
실수 전체에서 “n²은 짝수인 정수이면 n도 짝수인 정수다”라고 정확히 풀어 쓴 명제는 이 값이 반례예요. 제곱은 짝수인 정수지만 n은 정수가 아니에요.
증명에 2k 또는 2k+1을 썼다면 k가 정수라는 조건과 그 두 경우가 전체 대상을 덮는다는 조건을 함께 확인해요. 대우의 논리 형식이 바르더라도, 대상 범위를 바꾼 뒤 경우 분류가 여전히 충분한지는 별개의 문제예요.
출처·착안: 電気魚, 「命題の反例はその対偶の反例にもなり得るか」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.