방정식 f(x)=0이 서로 다른 실수 해를 네 개 가질 수 있을까? 도함수의 두 해를 원래 방정식의 두 해로 바로 옮기지 않고, 해 사이 구간을 사용한다.
네 해가 a<b<c<d라고 가정한다. f는 각 닫힌구간에서 연속이고 내부에서 미분가능하다. 양 끝의 함수값이 모두0이므로 롤의 정리를 [a,b], [b,c], [c,d]에 각각 적용한다.
세 구간의 내부에서 도함수값이0인 점을 하나씩 얻는다. 구간 내부가 서로 겹치지 않으므로 이 세 점도 서로 다르다. 도함수의 해가 정확히 두 개라는 조건과 모순이다.
따라서 f(x)=0의 서로 다른 실수 해는 최대 세 개다. 실제 f(x)=x³−3x에서는 도함수의 해가±1 두 개이며 원래 방정식의 해는−√3,0,√3 세 개다. 이 최대 개수는 실제로 가능하다.
답안에는 ‘해 사이에 하나’라는 위치 정보를 남긴다. 도함수의 해가 몇 개인지와 함수의 해가 몇 개인지는 다른 질문이며, 이번 결론도 정확한 개수가 세 개라는 말은 아니다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.