직사각형을 같은 크기의 정사각형 격자로 자른다. 각 변에 정사각형이 정수 개씩 놓이고 빈틈과 겹침이 없다. 한 칸을 가장 크게 하려면 s와 전체 칸 수는 얼마인가? s가 정수라고 미리 가정하지 않고 설명하라.
가로와 세로의 칸 수를 N,M이라고 두면 Ns=78, Ms=48이다. 두 식의 비는 N/M=78/48=13/8이다. 13과 8은 서로소이므로 양의 정수 N,M은 각각 13k,8k 꼴이고 k는 양의 정수다. 따라서 s=6/k이며 가장 큰 변은 k=1일 때 6cm이다. 이때 전체 칸 수는 13×8=104개다. 유클리드 알고리즘으로 78과 48의 최대공약수 6을 찾는 과정은 이 최대 크기를 빠르게 찾아 준다. 소수 길이를 허용해도 정수 칸 수 조건 때문에 더 큰 s는 만들 수 없다.
교사 질문: 단위를 mm로 바꿔 최대공약수 숫자가 달라져도 실제 한 칸의 길이는 같다는 점을 확인하자.
출처·착안: How to Untwist Your Fractions. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.