두 수에 U를 적용한 뒤 V를 적용했다. 마지막 기록이 (9,5)일 때 원래 (p,q)를 구하라. 변환 순서를 바꾸어도 같은 계산이라는 주장을 행렬과 역방향 복원 두 방법으로 검토한다.
V 직전의 첫 성분은 9이고 두 번째 성분에서 첫 성분을 빼 5가 되었으므로 V 직전 기록은 (9,14)다. 이것은 U 이후의 기록이므로 원래 q=14이고 p−14=9, 따라서 p=23이다. 열벡터를 사용하면 U의 행렬은 [[1,−1],[0,1]], V의 행렬은 [[1,0],[−1,1]]이고 합성은 VU다. VU의 역행렬 [[2,1],[1,1]]을 (9,5)에 곱해도 (23,14)가 나온다. 순서를 바꾼 UV는 [[2,−1],[−1,1]]로 다르다. 실제 23,14에 U 뒤 V를 적용하면 9,14를 거쳐 9,5가 되어 복원을 검산할 수 있다.
교사 질문: 행렬 곱에서 오른쪽 변환이 먼저 적용되는 이유를 단계 기록과 나란히 보여 주자.
출처·착안: How to Untwist Your Fractions. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.