f,g는 [0,1]에서 연속이다. R=f(c)/g(c)인 입력 c가 존재하는지 증명하라. 각각의 적분에 평균을 주는 점을 따로 고른 뒤 두 점을 같다고 쓴 풀이를 검토한다.
분모는 양수이므로 R이 정의된다. h(x)=f(x)−Rg(x)라 놓으면 h는 연속이고 ∫₀¹h=0이다. h에0인 점이 없다고 가정하면 연속성 때문에 부호를 바꾸지 못한다. 닫힌구간에서 계속 양수면 적분은 양수, 계속 음수면 적분은 음수여서 모순이다.
따라서 어떤 c에서 h(c)=0이고 g(c)>0으로 나누면
이 c는 f와g 각각의 적분 평균을 주는 점을 임의로 고른 것이 아니다. 두 적분의 비 R을 먼저 정하고 그 비에 맞는 새 함수 h의0을 찾았다.
g가 양수인 가정은 분모와 c에서의 나눗셈을 모두 보장한다. 예를 들어 g(x)=x−1/2이면 그 적분이0이어서 원래 R부터 정의되지 않는다. 채점에서는 두 평균점이 같다고 추측한 줄과 실제 같은 점을 보장한 증명을 구별한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.