분수 격자의 아홉 칸은 아홉 유리수가 아니다

분자와분모가 각각1,2,3인9개 분수의 서로 다른 값을 모두 적어라. 같은 값이 반복된 칸을 찾고, 무한 격자는 행 번호를 분모 q, 열 번호를 분자 p로 잡는다. 첫 행을 끝까지 읽는 방식이 모든 분수에 도달할 수 있는지도 판단하라.

분수를 목록으로 만드는 일은 분수 표기를 목록으로 만드는 일과 다르다. 같은 값을 여러 칸에서 만나는 상황을 먼저 정리해야 자연수와 연결할 수 있다.

서로 다른 값은1/3,1/2,2/3,1,3/2,2,3의7개다. 1/1,2/2,3/3이 같은1을 세 번 표현하므로9칸에서 중복 두 개를 제거한다.

q=1인 첫 행에는 1/1,2/1,3/1,…가 있고 끝이 없다. 첫 행을 다 읽은 뒤 둘째 행으로 가겠다는 규칙은1/2에 도달하지 못한다. 대신 분자+분모가2,3,4,…인 대각선 묶음을 차례로 읽으면 각 묶음이 유한해 모든 위치에 유한한 순서로 도달한다. 값을 이미 만났다면 그 칸은 건너뛴다.

분자+분모가5인 묶음까지 읽을 때1/1과2/2를 별개 유리수로 세지 않는 규칙을 직접 적어 보라.

학생에게 격자의 좌표와 분수의 값을 각각 번호 붙이게 한다. 열거 규칙이 빠뜨리는 원소가 없는지와 값의 중복이 없는지를 별도 조건으로 점검한다.

착안 원문: How Can Infinity Come in Many Sizes?. 유리수 격자의 중복 제거와 유한한 대각선 묶음을 따로 확인했다.