u=(3,0), 행성 기준 들어오는 속도 v=(0,4), 나가는 속도 w=(−4,0)인 이상화 모형이다. 행성 기준 속력이 같음을 확인하고 태양 기준 속력과 질량당 운동 에너지의 변화를 구하라. 일반적으로 |v|=|w|일 때 에너지 변화가 u·(w−v)임을 보이라.
같은 원리를 이용해 속력을 키울 수도 줄일 수도 있다. 에너지 전달의 방향은 이름이 아니라 벡터의 상대 방향에서 계산해야 한다.
행성 기준 속력은 모두4다. 태양 기준 들어오는 속도는(3,4)로 속력5, 나가는 속도는(−1,0)로 속력1이다. 에너지 변화는(1−25)/2=−12여서 감소한다.
일반식에서 |u+w|²−|u+v|²=2u·(w−v)+|w|²−|v|²다. 마지막 차이는0이므로 제곱 차이의 절반은 u·(w−v)이다. 이 내적이 양수인지 음수인지에 따라 태양 기준 에너지 증가와 감소가 갈린다.
u·(w−v)=0이면서 v와w는 서로 다른 방향인 예를 구성할 수 있는가?
원문이 행성의 에너지를 얻는 경우와 넘기는 경우를 구별한다는 점을 벡터 식으로 옮긴다. 도움이라는 단어를 항상 가속이라는 결론으로 바꾸지 않게 한다.
착안 원문: What are gravity assists?. 행성에 에너지를 넘기는 경우도 있다는 설명에서 에너지 변화의 내적 부호를 따졌다.