계수를 반대 순서로 읽어도 같은 홀수 차수 다항식의 실근

P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,\quad a_k=a_{n-k},\quad a_n\ne0,\quad n\text{은 홀수}.

항상 따라오는 실근을 구하라. 같은 계수 배열이니 x=1이 근이라는 답을 검토한다.

x=−1을 넣으면 k와n−k의 두 항이 짝을 이룬다. 계수는 같지만 n이 홀수여서 (−1)ᵏ와(−1)ⁿ⁻ᵏ의 부호는 반대다. 모든 항이 두 개씩 지워진다.

\boxed{P(-1)=0.}

x=1에서는 같은 계수들이 더해지므로0일 필요가 없다. P=x+1은 조건에 맞고 P(1)=2다. 또한 홀수 차수 조건을 빼면 P=x²+1은 같은 배열이지만 실근 자체가 없다.

항의 순서를 반대로 읽는 것과 항의 부호를 바꾸는 것은 다른 연산이다. 두 항을 짝지어 쓴 풀이에는 가운데에 혼자 남는 항이 없는 이유도 확인한다. n이 홀수면 항의 총 개수n+1은 짝수여서 모든 항을 짝지을 수 있다.