늘어나는 전체 합으로 나눈 항들의 급수는 수렴하지 않는다

a_n>0,\quad S_n=\sum_{k=1}^na_k\longrightarrow\infty,\qquad\sum_{n=2}^\infty\frac{a_n}{S_n}.

마지막 급수의 수렴 여부를 판단하라. 분모가 한없이 커지므로 수렴한다는 답을 검토한다.

한 번호 N을 고정하고 S_M≥2S_N이 되는 첫 M>N을 고른다. 그런 M은 Sₙ→∞에서 존재한다. N+1부터 M까지의 분모 Sₖ는 모두 S_M 이하라 다음과 같다.

\sum_{k=N+1}^{M}\frac{a_k}{S_k}\ge\frac{S_M-S_N}{S_M}\ge\frac12.

M을 다음 시작 번호로 삼아 같은 선택을 반복한다. 서로 겹치지 않는 각 구간의 합이1/2 이상이므로 전체 양수 급수는 한없이 커진다.

aₙ=1이면 항은1/n으로0에 가지만 여전히 발산한다. 분모만 커진다는 설명에는 분자와 누적되는 항 수가 빠져 있다. 몇 항의 크기를 보는 대신, 전체 합이 두 배가 되는 구간마다 지울 수 없는 양이 남는지 확인한다. 각 구간의 길이가 달라도 이 비교는 그대로 성립한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.