구 안의 점을 지나는 평면이 구에 접할 수 있을까

S:x^2+y^2+z^2=4,\qquad P=(0,0,1).

P를 지나는 구의 접평면을 구하라는 문항을 낼 수 있을까? 접평면 방정식을 먼저 만들기보다 존재 가능성을 확인하라.

P를 지나는 임의의 평면은

ax+by+c(z-1)=0,\qquad a^2+b^2+c^2>0.

원점에서 이 평면까지의 거리는

d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\le1.

구의 반지름은2다. 어떤 평면도 중심과의 거리가2가 될 수 없으므로 접평면은 존재하지 않는다.

평면이 P를 지나는 것은 가능하다. 예컨대 z=1은 P를 지나며 구를 반지름√3인 원으로 자른다. 불가능한 것은 평면의 존재가 아니라 접한다는 추가 조건이다. 모든 P 통과 평면에서 d<2이므로 교선은 원이다.

점P는 구의 내부에 있다. 평면과 구의 중심 사이 최단거리는 평면 위 점P까지의 거리1을 넘을 수 없다. 수식의 부등식은 이 위치 관계와 같은 사실을 설명한다.

방정식 구하기로 곧바로 시작한 답에서는 접평면 공식을 P에 넣어 z=4를 얻을 수 있다. 하지만 z=4는 P를 지나지도 않고 구에 접하지도 않는다. 접점 공식을 사용하는 점이 구 위여야 한다는 전제가 빠진 것이다.

출제 전에 P를 구의 식에 넣어1≠4임을 확인한다. 접평면의 접점을 준 것인지, 외부에서 그 평면을 지나게 한 점을 준 것인지, 내부점을 준 것인지 문항의 역할을 분명히 적어야 한다.

구의 내부라는 전제가 거리 부등식 하나로 모든 평면을 동시에 제외한다. 특정 평면 후보만 몇 개 검사하여 답이 없다고 말한 것과 구별할 수 있다.