한 변의 길이가 1인 정사각형 종이에서 왼쪽 절반 A와 대각선 아래의 삼각형 B를 칠했다. 두 영역 모두 종이의 절반이면 겹친 부분은 1/2×1/2=1/4일까?
B의 세 꼭짓점은 (0,0),(1,0),(0,1)이므로 넓이는 1/2다. A와 겹친 부분을 세로로 자르면 x가 0부터 1/2까지 움직일 때 높이가 1−x다. 따라서 겹침 넓이는 ∫₀¹⁄²(1−x)dx=1/2−1/8=3/8이다.
종이에 점을 균등하게 하나 선택한다고 정하면 넓이 비가 확률이 된다. A,B의 확률은 각각 1/2이지만 함께 일어날 확률은 곱 1/4와 다르다. 따라서 두 사건은 독립사건이 아니다.
원문에서는 서로 수직인 방향으로 분수를 칠해 겹침을 곱으로 읽는다. 이 새 예시는 그 배치를 대각선 삼각형으로 바꿨다. 단순히 ‘각각 절반’이라는 정보만으로 곱 규칙을 유지할 수 없다. 가로 절반 y≤1/2를 B로 택했다면 겹침은 실제로 1/4이지만 이번 배치는 아니다.
교사는 두 영역의 면적을 계산한 뒤 둘이 독립이라는 조건을 어디서 얻었는지 묻는다. 조건부 확률 P(B|A)는 3/4다. 한 영역을 알고 나면 다른 영역의 비율이 1/2에서 3/4로 달라지는 것을 통해, 그림의 방향과 확률 조건을 함께 읽을 수 있다.
출처·착안: Paper folding activities. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.