양수 카드 두 장의 작은 값을m, 큰 값을M이라 해요. P=mM가 큰 쌍이 이기는 게임과 B=m/M가 큰 쌍이 이기는 게임을 비교해요. 모든 쌍의 합이 같은 S>0일 때 승자 순위는 같을까요? 합이 다르면 반례가 가능할까요? 같은 값 두 장도 허용해요.
합10인(1,9),(4,6),(5,5)를 비교하면 곱은9,24,25이고 균형 비는1/9,2/3,1입니다. 이 예의 일치는 우연한 숫자 배열이 아니라 고정 합 조건에서 두 기준이 같은 m의 증가를 읽기 때문이에요.
비의 차도 S(m₂−m₁)/[(S−m₁)(S−m₂)]로 양수예요. 그러므로 고정 합에서 두 기준의 엄격한 순위와 동률이 모두 일치해요.
두 기준이 항상 같다고 결론 내리는 학생에게는 합이 다른 반례를 줘요. 곱은 크기와 균형을 함께 반영하지만 작은값/큰값은 공통 배율에 변하지 않아 크기 정보를 지워요. (1,9)와(2,2)는 그 차이를 드러내요.
Denise Gaskins는 같은 카드 게임에 덧셈·곱셈·분수 등 여러 승리 규칙을 붙여요. 원문의 어린이 연산 게임과 별도로, 이 글은 양수 실수와 고정 합이라는 조건에서 두 점수의 순서 관계를 증명하는 고교 문항을 만들었어요. 원문의 과제 수나 효과 표현을 검증된 학습량으로 쓰지 않아요.
교사는 게임에서 승자만 발표하지 않고 “이번 순위가 같은 이유는 무엇인가”를 물어요. 합 조건을 지운 다음에도 남는 주장인지 반례로 검사하면 점수 규칙과 게임 자원의 조건을 함께 읽을 수 있어요.
출처·착안: The Game That Is Worth 1,000 Worksheets. 위 조건·문항·해설은 새로 작성했다.