기계가 안정될 값을 가늠하려고 같은 시간 간격의 값을 기록했어요. 다음은 실제 기기의 법칙을 주장하는 대신, 매 단계의 오차가 정확히 같은 비율로 줄어드는 자체 모형이에요.
연속한 세 값 (u,v,w)=(12,9,15/2)로 L과 q를 구해 볼까요? 일반적인 실수 세 값이 이 모형과 양립할 필요충분조건도 구하고, 모두 같은 기록에서는 무엇이 유일한지 밝혀 보세요.
d₀=v−u,d₁=w−v라 두면 두 점화식을 빼서 d₁=qd₀를 얻어요. d₀≠0이면 q=d₁/d₀이므로 0≤d₁/d₀<1일 때에만 양립해요.
조건 아래 둘째 차분은 (q−1)d₀≠0입니다. 이 L,q로 점화식을 시작하면 첫 두 값은 u,v이고 셋째도 w여서 충분성까지 성립해요. 오차는 q>0일 때 (u−L)qⁿ으로 0에 가며, q=0이면 첫 단계부터 L입니다. 따라서 극한은 L입니다.
수치에서는 d₀=−3,d₁=−3/2라 q=1/2,L=6입니다. d₀=0이면 첫 점화식에서 (1−q)(u−L)=0이므로 L=u이고 w도 u여야 해요. 모두 같은 경우에만 양립하며 L=u는 유일하지만 q는 [0,1)의 어떤 값도 가능해요.
(12,9,6)은 차의 비가1이라 이 모형에 맞지 않아요. (12,9,10)은 비가−1/3이므로 방향을 번갈아 바꾸지 않는 q≥0 조건에서 제외돼요. 마지막 기록을 공식에 넣으면 39/4가 나오지만, 숫자가 계산된다는 사실은 주어진 모형과의 양립을 보장하지 않아요. 음수 비율을 허용하는 다른 모형의 수렴까지 부정하는 예도 아니에요.
반대로 (8,8,8)은 나눗셈 공식의 분모가0이어도 최종값8이 정해져요. 공식 사용 가능성과 값의 식별 가능성을 같은 말로 쓰지 않아요. (8,8,9)은 첫 두 값이 같아 한 번 도달한 고정값에서 벗어나므로 이 모형으로 설명할 수 없어요.
NIST DLMF의 Aitken 변환은 세 항의 차분을 이용해요. 여기서는 그 식을 외워 모든 측정에 적용하는 대신 정확한 공통 비율이라는 강한 조건을 명시하고, 어떤 세 값에서 쓸 수 있는지를 직접 증명했어요. 교사는 값이 세 개라는 횟수보다 비율 조건, 0으로 나누는 경우, 최종값과 비율 각각의 유일성을 확인하게 해요.
출처·착안: NIST DLMF §3.9, Acceleration of Convergence. 자체 모형의 수치·질문·양립 분류와 증명은 새로 작성했다.