이차함수의 그래프와 식을 연결할 때 정의역·치역(함수가 실제로 내놓는 값의 범위) 칸은 마지막 장식이 아니에요. 같은 제곱 식의 입력을 유리수로 제한해 볼까요? Q는 유리수 전체 집합으로 정해요.
모든 출력은0이상 유리수다. 그러나 이 사실만으로 모든0이상 유리수가 출력된다고 결론 내릴 수 없어요. 값2를 얻으려면 입력이±√2여야 하는데 둘 다 Q에 없어요. 반면1/4는 입력±1/2에서 실제 얻어요. 공역의 원소와 실제 치역의 원소를 구별하는 두 확인이에요.
양의 유리수 r=m/n을 양의 정수의 기약분수로 쓸게요. 유리수 x=p/q를 기약분수로 썼다면 p²와q²도 서로소예요. 기약분수 표현의 유일성에 의해 r=x²이면 m=p²,n=q²여야 해요. 역으로 m=u²,n=v²이면 입력u/v가 r을 만들어요.
0은 입력0에서 얻고 음수는 얻지 못해요. 따라서 양의 값에 관한 판정과0의 경계를 따로 기록하면 치역을 완전히 설명할 수 있어요.
Mrs. E Teaches Math는 이차함수의 그래프를 여러 식과 맞추면서 정의역·치역도 함께 적게 해요. 새 예에서는 제곱 식의 비음수 조건을 한 줄 쓴 뒤, 그 역으로 모든 비음수 출력을 만들어야 한다는 검산을 더했어요. 몇 점을 찍어 보인 매끈한 곡선을 원래 Q 정의역(함수에 입력할 수 있는 값의 범위)의 그래프 전체로 대신하지 않아요.
교사는 “출력은 모두 비음수”와 “비음수는 모두 출력”을 각각 말하게 해요. 첫 문장이 맞아도 두 번째 문장을 쓰려면 허용된 입력을 실제로 구성해야 해요.
출처·착안: Quadratics and Writing on the Desks!. 위 문항·풀이와 수업 질문은 새로 작성했다.