Geoff Krall의 회의실 문항은 첫 시간 비용과 한 시간마다20씩 커지는 관계로1~4시간 표를 채워요. 그 정수 시간 표에서 확인한 등차 관계를 실수 시간의 유일한 비용 식으로 읽으려면 별도 조건이 필요해요. 실제 요금제가 아니라 자체 함수 모형으로 확장해 봐요.
F가 증가한다고 더 주어도 직선만 남지 않아요. F(t)=80+20t+sin(2πt)는 모든 정수 시간의 값과 차분 조건을 맞춰요. 도함수는20+2πcos(2πt)≥20−2π>0이어서 엄격히 증가해요. 그러나 t=5/4에서 삼각함수 항1이 남으므로 직선과 달라요.
이번에는 F″≥0, 즉 기울기가 감소하지 않는 조건을 넣어 볼까요? 차분 등식을 미분하면 F′(t+1)=F′(t)입니다. 임의의1<u<v에 대해 u+n>v인 양의 정수 n을 골라요.
양쪽이 같으므로 F′(u)=F′(v)입니다. 따라서 도함수는 상수이고 F는 직선이에요. 한 시간 차분20이 기울기를20으로 정하며 F(1)=100을 넣으면 F(t)=80+20t입니다. 일정 증가분과 감소하지 않는 기울기가 함께 있어야 이 결론이 강제돼요.
교사는 “계속 비싸진다”와 “기울기가 줄어들지 않는다”를 다른 문장으로 받아요. 전자는 F′의 양수 조건, 후자는 F″의0이상 조건이에요. 정수 시간의 표와 실수 시간 사이의 식도 구별해요. 이 제안은 요금의 현실성이나 원문 활동의 효과에 관한 주장이 아니에요.
출처·착안: Week 32: Friday meeting-room recurrence. 위 문항·풀이와 수업 질문은 새로 작성했다.