구간 평균의 그래프와 원래 함수가 만났다는 이유만으로 극대·극소 표시를 붙여도 될까요? 다음은 그 판단을 점검하려 새로 만든 다항식 예예요.
직접 적분하면 A(x)=x³−3x²+3x−1=(x−1)³입니다. x=1에서 f(1)=A(1)=0이므로 두 그래프는 만나요. 그러나 A′(x)=3(x−1)²는 1의 양쪽에서 모두 양수예요. A는 계속 증가하므로 이 교점에서 극값을 갖지 않아요.
일반적으로 연속인 f의 시작 구간 평균을 미분하면 A′=(f−A)/x입니다. 내부 극값에서는 A′=0이 필요하므로 f=A가 돼요. 역으로 f=A라고 하면 A′=0까지만 얻어요. 도함수의 부호가 바뀌었다는 정보는 아직 없어요.
Lin McMullin의 평균함수 글은 f와 A의 교점에서 증감이 바뀌는 예와 미분식을 연결해요. 그 식을 가져와 교점이 접촉만 하고 지나가는 자체 반례를 추가했어요. 원문의 예시 그림이나 원 관찰자의 토론을 복제하지 않았어요.
교사는 “만나는 점을 찾았다”는 줄과 “그 점의 양쪽에서 평균이 어떻게 변하는가”라는 줄을 나눠 받아요. 이번 예에서는 A(1−h)=−h³, A(1+h)=h³라 h>0일 때 왼쪽은 작고 오른쪽은 커요. 수평 접선은 맞지만 주변 값보다 가장 크거나 가장 작은 점은 아니에요.
출처·착안: Extreme Average. 문항·수치·증명과 교사 질문은 자체 교육용으로 새로 작성했다.