추가할 횟수를 처음에 정하는 것과, 첫 결과를 보고 다음 추가 여부를 정하는 것은 같은 전략일까요? 다음은 돈이나 실제 참여 기록을 쓰지 않는 자체 점수 모형이에요.
현재2점이에요. 매번1,2,3을 각각1/3확률로 독립해서 뽑아 더하며, 앞으로 최대 두 번 추가할 수 있어요. 추가 전에는 멈출 수 있어요.6을 넘으면 즉시 끝나 보상0, 그 전에 멈추면 현재점수를 받아요. 목표는 최종 보상의 기댓값(확률을 반영한 평균)을 가장 크게 하는 거예요.
첫 추가 뒤에는3,4,5점이 각각1/3확률로 남아요. 그때의 마지막 선택부터 비교해 봐요.6을 넘는 결과의 보상은 점수 자체가 아니라0이에요.
| 첫 추가 뒤 점수 | 지금 멈춤 | 한 번 더 추가의 평균 | 더 큰 선택 |
|---|---|---|---|
| 3 | 3 | (4+5+6)/3=5 | 추가 |
| 4 | 4 | (5+6+0)/3=11/3 | 멈춤 |
| 5 | 5 | (6+0+0)/3=2 | 멈춤 |
각 상태에서 더 큰 값을 택했으므로, 첫 추가의 최적 평균은 다음과 같아요.
따라서 처음에는 추가하고,3점이면 한 번 더,4점이나5점이면 멈추는 규칙이 최적이에요. 상태마다 두 선택 중 최대를 사용했으므로 다른 종료 규칙도 이 평균을 넘지 못해요. 무작위로 두 선택을 섞어도 두 평균 사이의 값만 만들어요.
처음부터 추가 횟수를0,1,2로 정하면 평균은 각각2,4,32/9예요. 두 번 고정 추가는 최종 점수4,5,6의 결과 수가1,2,3이고 나머지 세 결과는 상한을 넘어서 (4+10+18)/9=32/9예요. 모두14/3보다 작아요.
Bob Lochel의 게임에서 누적점수를 본 뒤 마지막 회차를 생략할 수 있는 선택에 착안했어요. 원문의 게임을 그대로 최적화한 것이 아니라 보상·추가 수·상한을 따로 정의했어요. 마지막 선택을 먼저 비교한 뒤 처음 선택의 평균으로 돌아와 봐요. 한 번 추가의 평균을 계산한 것과 두 단계의 최적 종료를 증명한 것을 구별해요.
출처·착안: The 35 Game for Compound Inequalities. 문항·조건·보상·증명은 자체 교육용으로 새로 작성했다.