홀수 크기 격자, 두 숫자의 짝을 한 번씩만 쓸 수 있을까요?

각 칸에 두 숫자를 쓰되, 어느 행이나 열에서도 첫 숫자끼리와 둘째 숫자끼리 중복되지 않게 만들어 봐요. 더하여 가능한 두 숫자의 순서쌍을 모두 한 번씩 써야 해요. n≥3인 홀수일 때 자체 구성을 제시해요.

행 r와 열 c는 0부터 n−1입니다. n=3이면 다음처럼 써요.

열을 고정하면 두 식 모두 r에 1씩 더하므로 각 숫자가 한 번씩 나와요. 행을 고정할 때 A도 같아요. B에서 같은 숫자가 두 번 나왔다면 2(c₁−c₂)가 n의 배수예요. n이 홀수이므로 c₁−c₂도 n의 배수여야 하고, 허용 범위에서는 c₁=c₂입니다.

행·열 조건만으로 모든 순서쌍의 사용이 자동 보장되지는 않아요. 원하는 (A,B)에서 c는 B−A를 n으로 나눈 나머지, r는 2A−B의 나머지로 복원돼요. 따라서 모든 순서쌍은 정확히 한 칸에 있어요.

크기2는 따로 확인해요. 첫 숫자가 [[0,1],[1,0]]이 되게 행·열을 바꾸어도 돼요. 둘째 숫자는 그 배열 또는0과1을 뒤집은 배열뿐이에요. 어느 쪽도 두 종류의 순서쌍만 반복하므로 네 순서쌍을 모두 쓸 수 없어요.

Bob Lochel의 두 주사위 격자는 작은 크기로 내려가 조건을 살피게 해요. 여기서는 원문의6×6 불가능 정리를 인용해 대신 증명하지 않고, 홀수의 직접 구성과2×2의 짧은 불가능 증명을 새로 썼어요. 짝수에서 이 공식이 실패한다는 사실만으로 다른 모든 짝수 크기도 불가능하다고 결론 내리면 안 돼요.

출처·착안: Class Opener Day 4 the 36 Officers Problem. 문항·수치·증명과 교사 질문은 자체 교육용으로 새로 작성했다.