같은 점토를 모두 써서 정사각형 단면의 입체를 삼각형 단면으로 바꾼다고 해 볼까요? 단면의 밑변까지 정확히 그대로 둘 수 있을까요? 실제 점토 측정 결과가 아닌, 다음 두 이상적 입체를 비교하는 자체 질문이에요.
b는 연속이에요. x축에 수직인 A의 단면은 한 변 b(x)인 정사각형, B의 단면은 밑변과 높이가 모두 b(x)인 직각삼각형이에요. 두 입체의 길이 구간도 같아요.
부피가 양수이므로 두 입체는 같은 양의 점토로 만들 수 없어요. 단면의 모양만 바뀌었어도 각 위치에서 넓이가 절반이 되기 때문이에요. 재료가 압축되거나 빠져나가지 않는다는 조건을 유지하면 다른 길이 조건을 바꾸어야 해요.
B의 밑변과 높이를 모두 k배로 바꾸는 방법을 택해 볼까요? 넓이는 k²배라서 부피가 A와 같으려면 k²/2=1입니다. 양의 배율이므로 k=√2예요. 이제 B의 밑변함수는 √2b(x)가 되어, 처음의 밑변 조건을 그대로 만족하지 않아요.
Julie Reulbach의 글은 점토를 자르며 밑변에서 단면넓이와 부피로 이어지는 관계를 살펴요. 여기에 정확한 밑변 고정과 같은 재료량을 동시에 요구하는 자체 조건을 추가했어요. 원문 수업의 점토 모형이 오류였다고 판정하는 글은 아니에요.
“같은 점토”와 “같은 밑면”을 각각 유지하는 양으로 적어 봐요. 한쪽 단면공식만 계산했다면 다른 입체의 부피도 나란히 계산해 봐요. 눈으로 비슷해 보이는 형태 변화가 어떤 조건을 포기했는지는 별도로 확인해야 해요.
출처·착안: Discovering Volumes of Known Cross Sections Using Play-Doh. 문항·조건·증명은 자체 교육용으로 새로 작성했다.