다음 채워진 평면영역 전체를 x축 주위로 한 바퀴 돌려요. 두 경계의 제곱을 빼기 전에 각 세로구간이 어떤 반지름을 만드는지 확인해 볼까요?
0≤x≤1에서는 세로구간이 회전축 y=0을 포함해요. 음수 y도 축까지의 거리 |y|를 반지름으로 만들어요. 양쪽의 회전부분은 서로 겹치며, 중심부터 가장 먼 거리 x+1까지 빈틈없이 채워진 원판이 돼요.
1≤x≤2에서는 y가 모두 음이 아니에요. 축에 가장 가까운 거리는 x−1, 가장 먼 거리는 x+1이에요. 이 구간에서야 두 원 넓이의 차가 고리 단면을 나타내요.
x=1에서는 안쪽 반지름이0이 되어 두 식이 같은 넓이를 줘요. 부피를 더하면
전 구간에서 π[(x+1)²−(x−1)²]을 적분하면8π예요. 처음 구간에는 구멍이 없는데도 (x−1)²만큼 빼서 π/3을 잃어요. 음수 높이를 “안쪽 반지름”으로 이름 붙인 데서 계산의 뜻이 어긋났어요.
Julie Reulbach는 원판의 반지름과 고리 단면을 시각화하며 평면영역을 입체와 연결해요. 여기서는 서비스 속 문제나 영상을 옮기지 않고 축을 가로지르는 자체 영역을 만들었어요. 경계값 두 개 대신, 회전해 실제로 생기는 반지름의 구간을 먼저 적어 봐요. 회전한 두 부분의 부피를 각각 더하는 경우에도 겹침을 중복으로 세지 않았는지 확인해요.
출처·착안: Using Delta Math to See 3D Volumes. 문항·조건·증명은 자체 교육용으로 새로 작성했다.