같은 실수계수 좌표변환 T를 두 번 적용하면 모든 점이 (−x,−y)로 가요. 두 단계의 최종 결과가 원점대칭이면, 매 단계에서도 원점까지 거리가 유지될까요?
이 자체 예는 T_s를 두 번 적용하면 항상 (−x,−y)예요. 그러나 (1,0)은 (0,1/s)로 가므로 s≠1이면 원점까지 거리가 달라져요. 두 번째 변환에서 길이를 되돌린다고 해서 첫 단계의 거리까지 보존되지는 않아요.
이제 T=(ax+by,cx+dy)에 모든 점의 거리보존 조건을 추가해요. (1,0),(0,1),(1,1)에 차례로 적용하면
따라서 (b,d)는 (−c,a) 또는 (c,−a)예요. 길이가1인 (a,c)에 수직인 길이1의 좌표쌍은 그 두 방향뿐이에요. 뒤쪽 선택의 행렬은 두 번 곱하면 단위행렬이므로 원점대칭 조건과 맞지 않아요.
앞쪽 선택에서는 제곱의 대각성분이 a²−c²=−1이고 나머지 성분은 2ac=0이에요. a²+c²=1과 합하면 a=0,c=±1이에요.
각각 반시계 방향과 시계 방향90도 회전이에요. Bob Lochel의 글은 같은 변환 두 번으로 −1배를 만드는 회전 해석을 소개해요. 여기서는 그 해석이 유일하려면 어떤 거리 조건이 더 필요한지를 자체 좌표식으로 물어요. 최종 위치가 같다는 계산과 단계마다 유지되는 양을 구별해 봐요. 거리보존 조건을 임의의 실수계수 변환에 조용히 덧붙이면 안 돼요.
출처·착안: It Took Me 2 Years to Get This Approach to Imaginary Numbers. 문항·조건·증명은 자체 교육용으로 새로 작성했다.