제곱근보다 작게 시작해도, 첫 평균부터 위로 넘어갈까요?

양수 a의 제곱근을 찾으려고 양수 x와 a/x의 평균을 반복해요. 시작값이 제곱근보다 작으면 계속 아래쪽에서 접근할까요? 다음은 그 방향까지 검사하는 자체 문항이에요.

a>0,\quad x_0>0,\qquad x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac a{x_n}\right).

모든 항은 양수라서 나눗셈이 계속 가능해요. r=√a로 놓고 한 번 계산한 오차를 정리하면

x_{n+1}-r=\frac{(x_n-r)^2}{2x_n}\ge0.

시작값의 방향과 무관하게 첫 결과부터 제곱근 이상이에요. a=2,x₀=1이면 x₁=3/2로 위쪽에 넘어가고 x₂=17/12입니다. 시작값이 정확히 r이면 이후 항도 그대로 r입니다.

n≥1에서 eₙ=x_n−r라 쓰면 0≤eₙ≤x_n입니다. 위 항등식에 넣으면 eₙ₊₁=eₙ²/(2x_n)≤eₙ/2입니다. 따라서

0\le x_n-r\le\frac{x_1-r}{2^{n-1}}\quad(n\ge1).

오른쪽이0으로 가므로 x_n은 √a로 수렴해요. 계산기의 몇 자리 표시가 멈췄다는 관찰보다, 임의의 양수 시작에서 남는 오차를 제한한 결론이에요. 제곱된 오차가 식에 있다는 사실만으로 수렴이라 선언하지 않고 양수 분모와 상한도 함께 사용했어요.

Julie Reulbach의 로그 도입 글에는 x와2/x의 평균을 반복하는 계산법 제안 댓글이 있어요. 그 실제 제안에서 착안해 a>0으로 일반화하고 첫 회의 방향과 수렴 근거를 새로 썼어요. 댓글의 반복 횟수를 정확도 보증으로 옮기지 않았어요. 교사는 값이 가까워 보인다는 답에서 어느 쪽에 있으며 남은 차이를 얼마나 제한할 수 있는지까지 묻게 해요.

출처·착안: Creating a Need for Logarithms with Zombies. 문항·조건·증명은 자체 교육용으로 새로 작성했다.