정수 m≥2에 대해 다음 자체 확장 문항을 봐요. 두 좌표가 함께 0으로 가까워지되 원점은 제외해요. 직선에서 보이는 값과 모든 경로의 공통 극한은 같은 질문일까요? 더 나아가 곡선을 따라 얻을 수 있는 유한 값 전체를 구해 볼까요?
x=0과 y=0에서는 값이 0입니다. y=ax에서 a≠0이면 약분한 값은 ax^(m−1)/(x^(2m−2)+a²)이므로 0으로 가요. 수직선까지 포함해 원점을 지나는 모든 직선의 결과는 같아요.
그러나 y=cx^m을 따라가면 x≠0에서 값이 일정해요. 예를 들어 c=1이면 항상 1/2입니다. 여기서 “전체 극한은 없다”로 끝내면 가능한 다른 값의 범위는 아직 답하지 않았어요.
두 번째 부등식은 (|x^m|−|y|)²≥0에서 나와요. 모든 허용 입력에서 |F_m|≤1/2이므로 어떤 연속 경로로 접근해도 유한 극한값은 이 범위를 벗어나지 않아요.
반대로 c/(1+c²)는 −1≤c≤1에서 연속이고 양끝 값은 −1/2와 1/2입니다. 그 사이의 모든 값을 얻어요. 원하는 c를 고른 뒤 t>0에서 (x,y)=(t,ct^m)으로 놓으면 실제로 원점에 가까워지는 연속 경로가 돼요.
따라서 가능한 유한 값의 집합은 정확히 [−1/2,1/2]입니다. 교사는 직선 검사, 서로 다른 값 두 개로 공통 극한을 반박하는 일, 가능한 값 전체를 분류하는 일을 구별하게 해요. 이 문항은 한 입력의 좌·우 극한을 두 입력의 접근 방식으로 확장한 탐구이며 제공 교재의 일반 단원 범위라고 소개하지 않아요.
출처·착안: Active Calculus Multivariable 11.3 Limits. 원문의 관점을 참고해 질문·조건·논증을 새로 구성했다.