1g·3g·10g 추를 각각 하나씩 갖고 양쪽 접시에 놓을 수 있다고 해 볼까요? 총 14g인데 5g도 잴 수 있을까요? 10g을 빼면 최대 4g, 넣으면 다른 두 추를 반대편에 모두 놓아도 차이는 6g입니다. 따라서 5g이 빠져요.
다음 자체 문항은 총합까지 빠짐없이 재는 조건을 물어요. 양의 정수 추 w₁≤…≤wₙ을 각각 한 번만 써요. 같은 편은 −1, 반대편은 1, 미사용은 0으로 표시해요.
가능한 v는 부호가 대칭이에요. 1부터 S까지 모두 잴 수 있다는 것은 −S부터 S까지 모든 정수를 만드는 조건과 같아요. 양변에 S를 더하면 각 추의 계수가 0·1·2인 합으로 0부터 2S까지 만드는 문제가 돼요.
이 조건이 필요해요. w₁>1이면 옮긴 문제의 1이 빠져요. 앞부분 합을 A라 할 때 다음 추가 2A+1보다 크면 앞의 추로는 2A까지만 만들고, 뒤의 추는 모두 너무 커서 2A+1이 빠져요.
충분함도 확인해 볼까요? 앞의 추로 −A부터 A까지 모든 정수를 만들었다면 새 추 w를 같은 편·미사용·반대편에 둔 세 경우는 다음 구간을 만들어요.
w≤2A+1이면 세 구간은 정수 사이에 빈칸 없이 이어져요. w₁=1의 −1·0·1부터 하나씩 추가하면 전체 구간이 완성돼요. 1·3·10은 마지막 조건 10≤9를 어겨 실패해요.
교사는 총질량과 빠짐없는 표현을 분리해 읽게 해요. 이 판정의 목표는 반드시 추의 총합 S입니다. 더 작은 목표까지만 재는 경우에 같은 조건이 필요하다고 확대하지 않아요.
출처·착안: Balance Power. 원문의 관점을 참고해 질문·조건·논증을 새로 구성했다.