점이 몇 개 들어 있는지만 기록하면 도형의 모양도 알 수 있을까요? 한 번의 기록이 부족하다면 1배·2배·3배로 키운 뒤 계속 세면 어떨까요? 다음 자체 두 도형은 모든 양의 정수배에서 점 수가 같아요.
같은 단위의 수직 좌표축을 쓰고 경계도 포함해요. 정사각형 Q_k는 0≤x,y≤2k이고, 삼각형 T_k의 꼭짓점은 (0,0),(4k,0),(0,2k)입니다. k는 양의 정수이며 세는 점의 두 좌표도 정수예요.
정사각형은 가로·세로 각각 2k+1개이므로 점 수는 (2k+1)²입니다. 삼각형에서는 가로줄 y=j마다 허용되는 x가 0부터 4k−2j까지예요.
따라서 k=1,2,3에서 둘 다 9·25·49개예요. 일반 k의 등차합으로 계산했으므로 처음 몇 단계만 우연히 같은 것이 아니에요. 더 큰 정수배의 점 수를 추가해도 두 후보는 남아요.
경계와 내부를 따로 세면 어떨까요? 정사각형 경계는 8k개예요. 삼각형의 각 변 내부에는 4k−1, 2k−1, 2k−1개가 있고 꼭짓점 세 개를 한 번씩 더하면 역시 8k개예요. 빗변에서는 x+2y=4k의 정수 해를 센 거예요.
전체뿐 아니라 두 항으로 나눈 기록도 모든 정수배에서 같아요. 넓이도 각각 4k²지만 모양은 정사각형과 삼각형으로 달라요.
교사는 넓이를 결정하는 점 셈과 모양 전체를 결정하는 정보를 분리하게 해요. 이 두 가족은 점 수 자료의 한계를 보여 주는 반례예요. 모든 도형을 분류한 결론이나 임의의 실수배 확대에서도 같은 기록이라는 주장으로 넓히지 않아요.
출처·착안: Connecting the Dots with Pick’s Theorem (2018). 원문의 관점을 참고해 질문·조건·논증을 새로 구성했다.