원형으로 놓은 칸마다 값을 적고, 모든 칸을 양 이웃 값의 평균으로 바꿔요. 이것을 반복하면 모두 같은 값으로 가까워질까요? 자체 문항에서는 한 단계의 모든 계산에 직전 값만 사용해요. 먼저 바뀐 값을 뒤 계산에 끼워 넣지 않아요.
변하지 않는 상태부터 볼까요? 가장 큰 값 M의 칸이 두 이웃의 평균이라면, 두 이웃도 모두 M이어야 해요. 이 논리를 원형으로 이어 가면 모든 칸이 같아요. 그러나 변하지 않는 상태가 상수라는 사실만으로 과정의 수렴이 증명된 것은 아니에요.
세 칸의 초기값을 a,b,c라 해 볼까요? 매 단계의 전체 합과 평균 μ는 보존돼요. 각 값이 이웃의 합에 두 번, 각각 절반씩 들어가기 때문이에요.
따라서 각 값과 평균의 차는 단계마다 −1/2배예요. 절댓값은 반으로 줄어 모두 μ로 수렴해요. 부호가 번갈아도 차의 크기가 0으로 줄어드는 점이 중요해요.
네 칸의 초기값을 (a,b,c,d)라 하고 마주 보는 두 값의 평균을 p,q로 둬요. 한 번 바꾼 뒤부터는 다음 두 배열이 교대로 나와요.
p=q일 때만 모든 칸이 한 값으로 수렴하며, 이때는 첫 단계부터 전체 평균과 같아요. 필요충분조건은 a+c=b+d입니다. p≠q이면 각 칸이 두 다른 값을 계속 오가므로 수렴하지 않아요. 예를 들어 (0,10,0,10)은 (10,0,10,0)으로 바뀐 뒤 되돌아온다.
교사는 정적인 이웃 평균 조건, 전체 평균의 보존, 반복 과정의 수렴을 따로 확인하게 해요. 세 칸과 네 칸의 일반 초기값을 계산한 결론이며, 다른 칸 수나 순차 갱신의 결과까지 증명한 것은 아니에요.
출처·착안: WOW! Cool Math: The Fourth Math Letter (July2012). 원문의 관점을 참고해 질문·조건·논증을 새로 구성했다.