자기 기준으로 3분의 1 이상 받으면, 남의 케이크가 부럽지 않을까요?

세 사람이 케이크를 나누고 모두 자기 기준으로 전체의 3분의1 이상을 받았어요. 그러면 누구도 다른 사람의 조각을 더 좋아하지 않을까요? 두 조건은 수학적으로 달라요. 길이뿐 아니라 조각을 평가하는 기준부터 정해야 해요.

자체 케이크는 구간 [0,3]입니다. 각자의 전체 가치는 1이고, 조각의 가치는 아래 길이1당 가치에 길이를 곱해 합해요. 끝점 하나의 가치는0입니다. 사람마다 좋아하는 부분이 다르다는 교육용 값이며 실제 선호 조사 결과가 아니에요.

첫 단계는 왼쪽부터 자기가치가 전체의 1/3에 도달할 때 알리고, 가장 먼저 알린 사람이 그 조각을 가져요. A는 위치1에서 알린다. 그때 B가치는1/4,C가치는0이므로 아직 두 사람은 알리지 않았어요. A가 [0,1]을 가져요.

이제 남은 두 사람은 남은 부분의 자기가치 절반을 기준으로 같은 절차를 써요. B의 남은 가치는3/4이고, 절반3/8이 되는 위치는5/2입니다. C의 절반은 그보다 뒤인11/4에서 돼요. 따라서 B가 [1,5/2],C가 나머지를 받아요.

각자 받은 조각의 가치는1/3,3/8,1이므로 모두 원래 전체의1/3 이상이에요. 그러나 A가 B의 조각을 보면 길이3/2이어서 가치1/2입니다. A는 자기 조각보다 B의 것을 더 높게 평가해요.

최소몫 보장이 우연은 아니에요. 비음수·가법적이고 점 하나의 가치가0인 기준에서 첫 사람은1/3을 받아요. 나머지 사람은 처음 잘린 조각을1/3이하로 보므로 잔여를2/3이상으로 봐요. 둘째는 그 잔여의 절반을 받고, 마지막도 자기 기준의 절반이하가 먼저 잘렸으므로 잔여의 절반이상을 받아요. 둘 다 원래 전체의1/3이상이에요.

반대로 세 조각 중 자기 것을 어느 다른 조각보다 낮게 평가하지 않는다면, 전체 가치1은 자기몫의 세 배이하라 자기몫은1/3이상이에요. 따라서 이 정규화·가법 조건에서 최소몫 보장은 필요조건이지만 충분조건은 아니에요.

Kedlaya의 강의는 moving-knife의 최소몫 보장과 남의 몫을 더 선호하지 않는 조건을 분리해요. 위상 정리나 원문의 추상증명을 옮기지 않고 실제로 절단 위치를 계산하는 자체 세 가치기준을 만들었어요. 교사는 공평하다는 말 대신 어느 수학 조건을 보장했는지 적게 해요. 이 규칙이 실제 행복이나 모든 공정성 기준을 보장한다고 해석하지 않아요.

출처·착안: Fixed Points and Fair Divisions, Kiran S. Kedlaya (11 November2001). 원문의 관점에서 질문·조건·증명을 새로 구성했다.