“계수의 오차가1% 이하”라는 말은 어느 값을 기준으로 할까요? 자체 모형 T(x,y)=(t x,y),t≥1에서 계수를 바꾸어도 입력을 유일하게 복원할 수 있는지 비교해요. η≥0이고 실제 기기 측정값은 아니에요.
먼저0인 두 칸은 정확히0으로 남고,각 대각성분이 자기 값에 대한 η 이하의 비율 오차를 갖는다고 해 볼까요?
모든 허용 행렬에서 복원이 가능한 필요충분조건은 η<1입니다. 이때 두 대각성분이 양수예요. η≥1이면 v=−1이 허용되어 두 번째 출력이 항상0이므로 다른 y들을 구별할 수 없어요.
η<1에서 원래 정확한 출력(tx,y)을 바뀐 계수로 역산하면 x̂=x/(1+u),ŷ=y/(1+v)입니다. M=max(|x|,|y|)>0으로 입력 크기를 재면 복원 오차는 다음 범위에 있어요.
|u|/|1+u|≤η/(1−η)를 각각 적용한 결과예요. u=v=−η이면 모든0이 아닌 입력에서 등호를 얻으므로 더 작은 일률적 상한은 불가능해요. 이 정확한 유한 오차값에는 t가 없어요.
이번에는 모든 칸에 오차를 허용하고,한 행의 절댓값 오차 합을 큰 계수 t의 η배 이하로 제한해요.
이 다른 허용집합에서 모든 행렬의 복원을 보장할 필요충분조건은 ηt<1입니다. 복원 불가능한 행렬이 있다면0이 아닌 입력 z=(x,y)의 출력이0이 돼요. M=max(|x|,|y|)로 두면 t≥1에서 A z의 가장 큰 절댓값은 M 이상이에요.
반면 E z의 각 좌표 절댓값은 ηtM 이해요. ηt<1이면 A z와 E z가 서로 지워져0이 될 수 없어요. 2행2열 행렬에서 이런0이 아닌 입력이 없다는 것은 행렬식이0이 아니고,모든 출력의 입력을 유일하게 구한다는 뜻이에요.
ηt≥1이면 E의22성분을−1,나머지를0으로 두면 허용 오차 안에서 y 정보가 사라져요. 경계의 등호도 포함할 수 없어요. t=100,η=0.01에서는 첫 조건의 복원 오차가 최대1/99이지만,두 번째 조건에는 복원 불가능한 행렬도 들어 있어요.
Higham의 글과 댓글은 큰 민감도 상한과 특정 성분별 오차 조건을 구별해요. 여기서는 두 허용집합을 식으로 직접 정해 전체 복원 보장과 정확 오차 상한을 증명했어요. 같은1%라는 숫자가 같은 오차 집합을 뜻하지 않아요.
교사는 “작은 오차” 옆에 기준값과 바뀔 수 있는 칸을 쓰게 해요. 어느 조건에서나 큰 t가 반드시 실제 오차를 키운다고 단정하거나,원래0인 성분도 첫 모형에서 임의로 바꾸면 안 돼요.
착안: Nick Higham, What Is a Condition Number?. 허용 오차·문항·필요충분조건·유한 오차 증명은 새로 작성했어요.