검정·흰색 구슬 세 개를 원형으로 놓아요. 각 자리의 색을 서로 독립으로, 검정 확률1/2로 골라요. 회전해서 같아지는 무늬는 하나로 보되 뒤집기는 따로 구별해요. 번호가 있는 색 목록8개가 공평하면 무늬 네 종류도 공평할까요?
검정을1, 흰색을0으로 쓰면 다음과 같아요.
| 대표 목록 | 같은 회전 무늬의 목록 수 | 확률 |
|---|---|---|
| 000 | 1 | 1/8 |
| 001 | 3 | 3/8 |
| 011 | 3 | 3/8 |
| 111 | 1 | 1/8 |
이제 n≥2개로 늘리고, 자리마다 검정 확률 qᵢ를 다르게 조정할 수 있다고 해 볼까요? 색 선택들은 모두 서로 독립이에요. 모든 회전 무늬를 같은 확률로 만들 수 있을까요?
불가능해요. 공평한 무늬의 공통 확률을 c라 하면, 가능한 무늬 수는 유한하므로 c>0입니다. 전부 흰색과 전부 검정인 무늬도 각각 c여야 해요.
따라서 모든 qᵢ가0과1 사이이고, rᵢ=qᵢ/(1−qᵢ)>0을 정의할 수 있어요. P₁/P₀을 구하면 rᵢ의 곱은1입니다.
검정이 정확히 하나인 무늬는 그 검정의 위치만 다른 n개 목록을 모두 포함해요. 이 목록들은 겹치지 않으므로 확률을 더해요.
P₀=c>0이어서 r₁+⋯+rₙ=1입니다. n≥2이고 각 rᵢ>0이므로 모든 rᵢ<1입니다. 그러면 그 곱도1보다 작아야 해요. 앞서 얻은 곱1과 모순이에요. 자리별 확률을 달리 바꾸어도 독립이라는 조건을 유지하면 해결되지 않아요. n=1만은 검정 확률1/2로 가능해요.
무늬를 먼저 고르면 가능해요. 세 구슬에서는 표의 네 종류를 각각1/4로 고른 뒤, 그 종류에 속한 번호 있는 목록 중 하나를 같은 확률로 골라요. 000·111의 확률은 각각1/4, 나머지 여섯 목록은 각각1/12입니다. 무늬는 공평하고 각 자리의 검정 확률도1/2입니다.
하지만 두 지정 자리가 함께 검정일 확률은1/4+1/12=1/3으로, (1/2)²과 달라요. 이 절차의 색 선택은 독립이 아니에요. “각 자리 확률이 같음”까지 보존해도 독립 조건은 별도로 확인해야 해요.
King의 자료는 회전으로 같은 목걸이 무늬를 세는 정의를 설명해요. 이 글은 그 정의에서 독립 색 선택으로 공평하게 생성할 수 있는지 물어요. 교사는 첫 표의 차이와 모든 자리별 확률에 대한 불가능 증명을 구별하고, 대안 절차가 어느 조건을 바꾸었는지 설명하게 해요.
착안: J. L. F. King, Burnside’s lemma applied to necklaces. 확률 모형·문항·불가능 증명·대안 절차는 자체 교육용으로 작성했어요.