세 톱니바퀴 A,B,C의 톱니 수는 각각20,30,40입니다. A와B, B와C가 바깥쪽 톱니로 맞물린다. 여기에 C와A도 바깥쪽으로 맞물리게 연결하면 세 바퀴가 함께 계속 돌 수 있을까요? 각 두 바퀴의 속도비를 계산할 수 있다는 사실만으로 전체 회전이 가능한지 판단해요.
같은 평행축 방향에서 반시계 회전을 양수로 센 부호 있는 회전율을 ω라 해 볼까요? 현재는 맞물림의 이상적인 관계식만 검사해요. 외부 맞물림에는 반대 방향과 톱니 수의 역비를 줘요.
첫 두 식에서는 ω_B=−2ω_A/3, ω_C=ω_A/2입니다. 그런데 마지막 식에 넣으면20ω_A=−20ω_A이므로 ω_A=0입니다. 이어 B,C도0입니다. 해가 없다고 말하면 틀려요. 모두 정지인 해는 있지만, 하나라도 도는 해가 없어요. 톱니 수를 다른 양의 정수로 바꾸어도 같은 방향 모순은 남아요.
전체 연결 그림의 기준도 구해 볼까요? 바퀴 수는 유한하고, 각 바퀴의 양의 톱니 수 zᵢ는 고정이에요. 서로 다른 두 바퀴를 잇는 선에는 부호 εᵢⱼ=−1 또는+1을 표시해요. −1은 반대 방향, +1은 같은 방향의 이상 관계를 뜻해요. 모든 연결에 다음 식을 적용해요.
이 부호 그림은 방정식을 검사하기 위한 자체 모형이에요. +1에는 내부 맞물림의 방향 관계가 착안이 되지만, 임의의 그림이 실제 조립 가능한 기어 배치라는 조건은 주지 않아요. 움직이는 축이나 마찰·유격의 효과도 이 식에 넣지 않아요.
선들을 따라가면 q는 부호를 차례로 곱한 값으로 전해진다. 출발점으로 돌아오는 닫힌 경로의 부호 곱이−1이면 qᵢ=−qᵢ라 그 점은0입니다. 선으로 이어진 점들에는0이 전파되므로 같은 연결 묶음의 모든 바퀴가 정지해요. 중간 점이나 선을 다시 지나는 경로도 허용해요.
반대로 그 묶음의 모든 닫힌 경로에서 부호 곱이+1이라고 해 볼까요? 기준점 o를 하나 정하고, o에서 i까지 경로의 부호 곱을 σᵢ라 해 볼까요? 두 경로를 골라도 한쪽을 따라간 뒤 다른 쪽을 거꾸로 돌아오면 닫힌 경로예요. 그 곱이+1이므로 두 σᵢ는 같아요. 따라서 경로 선택과 무관하게 값을 정할 수 있어요.
어떤 연결 i—j에서도 σⱼ=εᵢⱼσᵢ이므로 위 값은 그 선의 식을 만족해요. 모든 해는 기준점의 q_o=t에서 경로를 따라 이 형태가 강제돼요. 이것이 해 하나의 예가 아니라 전체 해예요. t≠0을 고르면 묶음의 모든 바퀴가 돌고, t=0이면 모두 정지해요.
결론적으로 한 연결 묶음에 비영 회전이 존재할 필요충분조건은 모든 닫힌 경로의−1 연결 수가 짝수라는 거예요. 바깥 맞물림만 있으면 이것은 모든 닫힌 경로의 길이가 짝수라는 조건이에요. 선이 없는 바퀴 하나도 하나의 묶음이며 자유로운 t 하나를 가져요. 그림이 끊어져 있으면 조건을 통과한 묶음마다 기준값 하나를 따로 정해요. 조건을 못 통과한 묶음은0만 허용해요.
KHK의 설명은 단일쌍의 톱니 수 비와 외부·내부 회전 방향을 구별해요. 여기서는 그 사실을 부호 있는 선형관계로 명시하고, 연결망의 모든 해를 새로 증명했어요. 실제 장치를 제작하거나 이 사진의 바퀴가 정확히 움직이는지 시험한 결과는 아니에요.
교사는 세 속도비 옆에 서로 다른 ω_A를 몰래 쓴 답을 확인해요. 같은 바퀴의 값이 모든 식에서 같아야 해요. 반례를 찾은 뒤에는 정지해의 존재, 비영해의 불가능, 다른 연결에서 비영해를 만드는 충분조건을 따로 쓰게 해요.
착안: Brian Dengel, What is a gear engineer? — KHK-USA가 제공한 Gear Solutions 2019년9월 글. 톱니 수·문항·부호 연결 모형·전체 해 분류와 증명은 새로 작성했어요.