같은 지도에서 가로·세로가 같은 두 직사각형 칸을 골랐어요. 하나는 적도를 가운데 두고, 다른 하나는 북쪽으로 옮겼어요. 지도에 차지한 넓이가 같으면 구면 위의 넓이도 같을까요? 특정 나라의 면적을 재는 대신, 반지름1인 구면의 메르카토르 좌표를 조건으로 줄게요. 경도 λ와 위도 φ는 라디안이고 극점은 제외해요.
지도에서 구면으로 면적을 되돌릴 때의 국소 배율은 cos²φ입니다. 위 식에서1−F(y)²=G(y)이고, 직접 미분하면 F′(y)=G(y)입니다. 따라서 지도 칸의 각 높이에서 넓이에 곱할 값이 일정하지 않아요. 지도 넓이 하나에 중심 위도의 배율만 곱하면 유한한 칸 전체의 넓이를 정확히 구한 것은 아니에요.
지도 가로는0≤x≤w로 두고0<w<π라 해 볼까요? 경도의 끊김을 넘지 않아요. 세로 반높이 h>0는 고정이고 중심 높이 c만 모든 실수 범위에서 움직여요. 칸의 지도 넓이는 언제나2hw입니다. 구면 넓이 S(c)는 높이별 배율을 더해서 얻어요.
w=1,h=ln2인 두 칸을 비교해 봐요. 적도 중심 c=0의 세로 범위는−ln2부터ln2, 북쪽 c=ln2의 범위는0부터2ln2입니다. F(ln2)=3/5, F(2ln2)=15/17, F(0)=0이므로 첫 구면 넓이는6/5, 둘째는15/17입니다. 지도 넓이는 둘 다2ln2인데 첫 칸의 구면 넓이는 둘째의34/25배예요.
이번에는 칸을 어디에 놓아야 구면 넓이가 가장 큰지 모든 c를 분류해요. G는 양수인 짝함수다. 미분식에서 y>0이면 분자가 음수이므로 그쪽에서 엄격히 감소해요.
c>0이면 |c+h|>|c−h|입니다. G가 짝함수이며 양수 쪽에서 엄격히 감소하므로 G(c+h)<G(c−h), 따라서 S′(c)<0입니다. G의 대칭성을 적분하면 S(−c)=S(c)도 얻어요. 그러므로 유일한 최대 위치는 c=0이고 최댓값은2wF(h)입니다. 지도 칸이 적도를 위아래로 똑같이 포함할 때예요.
모든 유한한 c에서는 적분할 G가 양수여서 S(c)>0입니다. 그러나 c가 북쪽 또는 남쪽으로 끝없이 멀어지면 두 F값이 각각1 또는−1로 함께 다가가 S(c)는0으로 가요. 하한0은 있지만 이를 달성하는 유한한 위치는 없으므로 최솟값은 없어요. 같은 w,h를 유지한 두 칸의 구면 넓이가 같을 필요충분조건은 |c₁|=|c₂|입니다. 중심이 같거나 적도에 대해 서로 대칭인 경우가 전부예요.
Snyder의 원문에서 구면 좌표와 국소 면적배율을 확인했어요. 두 칸의 수치와 모든 이동에서의 넓이 분류는 자체 문항과 증명이에요. 반지름1의 이상 구면을 써서 실제 지구 타원체의 특정 지역 면적이나 사진 속 지도의 투영법을 측정했다고 말하지 않아요.
교사는 ‘동일한 지도 넓이’, ‘국소 면적배율’, ‘구면 넓이’를 서로 다른 줄에 적게 해요. 이어 적도에서 멀수록 작다는 설명에 남북 대칭과 하한의 미달성까지 붙여야 전체 위치의 답이 된다는 점을 확인해요.
착안: John P. Snyder, Map Projections—A Working Manual, 구면 메르카토르 식과 면적배율, 인쇄41–44쪽. 칸의 조건·수치·문항·이동에 따른 전체 넓이 증명은 새로 작성했어요.