벽에 걸린 그림을 더 크게 보려면 무조건 가까이 가면 될까요? 그림 전체가 눈높이보다 위에 있으면 너무 가까운 자리에서는 두 끝을 보는 방향이 모두 위를 향해, 그 사이 각이 오히려 작아질 수 있어요. 여기서는 선명도나 목의 편안함 대신 두 끝을 잇는 시선 사이의 각만 비교해요.
눈을 원점으로 놓고 수평 거리 x>0인 수직 벽 위에 그림의 아래 끝 A=(x,a), 위 끝 B=(x,b)를 둬요. a<b는 눈높이를 0으로 잰 상대 높이며 음수도 허용해요. 같은 수평선 위에서 거리를 바꿔 보는 평면 모형이고 관람각 θ는 항상 0<θ<π입니다.
아래 끝이 눈보다 1, 위 끝이 4만큼 높다면 최대 각을 만드는 거리는 x=2입니다. x=1로 더 가까이 가거나 x=4로 멀어지면 둘 다 이보다 작은 각이 돼요. 이 수치는 실제 전시장의 추천 거리가 아니라 자체 길이 단위의 예예요.
전체 높이 조건을 분류하려면 두 시선 길이를 u=√(x²+a²), v=√(x²+b²)라 해 볼까요? 삼각형 OAB의 넓이는 밑변 b−a와 높이 x로 구해 x(b−a)/2입니다. 코사인법칙과 넓이식을 각각 쓰면
sin θ는 양수예요. cot θ를 cos θ/sin θ로 정의하면 두 식의 공통 분모가 없어져
를 얻어요. cot은 0<θ<π에서 엄격히 감소해요. 두 각 θ₁<θ₂의 cot 차를 통분하면 sin(θ₂−θ₁)/(sin θ₁ sin θ₂)>0이므로 확인할 수 있어요.
먼저 ab>0, 즉 그림이 눈높이의 한쪽에 전부 있는 경우예요. 위에만 있거나 아래에만 있어도 포함돼요. 양수 x에서
따라서 cot θ가 유일하게 최소가 되는 x=√(ab)에서 θ가 유일하게 최대예요. a=1,b=4이면 x=2이고 cos θ=4/5, sin θ=3/5입니다. a=−4,b=−1도 같은 최적 거리를 가져요. 단순히 그림의 높이 b−a만 알아서는 거리를 정할 수 없고, 눈높이를 기준으로 한 두 끝의 위치가 필요해요.
이제 ab≤0인 경우를 볼까요? x₂>x₁>0이면
첫 차는 양수이고, 역수의 차는 음수여서 ab≤0과 곱한 항은 비음수가 돼요. 따라서 cot θ는 거리와 함께 엄격히 늘고 θ는 엄격히 줄어들어요. 양의 거리에서 최대를 이루는 자리는 없어요.
ab=0이면 그림 한 끝이 눈높이와 같아 x가 0에 가까워질 때 θ는 π/2에 가까워져요. ab<0이면 눈높이가 두 끝 사이에 있어 θ는 π에 가까워져요. 벽까지 거리 0은 허용하지 않았으므로 두 경계 각은 실제 최대가 아니에요. 세 경우를 한 표로 정리하면 다음과 같아요.
| 눈높이와 그림의 관계 | 양의 거리에서의 최대 |
|---|---|
| 전부 위 또는 전부 아래 | x=√(ab)에서 유일하게 달성 |
| 한 끝이 눈높이와 같음 | 최대 없음, 가까워질 때 π/2에 접근 |
| 눈높이가 두 끝 사이 | 최대 없음, 가까워질 때 π에 접근 |
NASA 자료는 물체의 길이와 보이는 각의 차이, 작은 각 근사를 구별해요. 중심을 향한 각크기 식을 벗어난 눈높이에도 그대로 쓰지 않고 위 삼각형에서 새 식을 유도했어요. 교사는 ‘가장 가까운 자리’, ‘최대 각이 있는 자리’, ‘접근만 하는 경계’를 구별하게 해요. 실제 그림의 감상 품질이나 안전한 관람 거리까지 최적화한 결론은 아니에요.
출처·착안: NASA/SSU, Active Galaxy Educator Guide, Activity2 Additional Background. 관람 그림의 조건·문항·전체 높이 분류는 자체 교육용 확장이다.