삼각형의 세 변 대신 세 중선의 길이만 알려 주면 원래 모양을 되찾을 수 있을까요? 중선은 꼭짓점과 맞은편 변의 중점을 잇는 선분이에요. 세 길이가 모두 양수라고 아무 값이나 줄 수 있는 것은 아니에요. 한 직선에 납작해진 도형은 이번 삼각형에서 제외해요.
꼭짓점 A, B, C에서 나온 중선의 길이를 각각 mₐ, mᵦ, m𝒸라 해 볼까요? 세 중선은 무게중심 G에서 만나고, G는 꼭짓점 쪽부터 중선을 2:1로 나눠요. AMS의 기하 자료가 설명하는 이 관계를 출발점으로 삼아요. 좌표의 원점을 G에 두고 세 꼭짓점의 위치벡터를 u, v, w라 쓰면 다음과 같아요.
세 벡터를 차례로 이으면 닫힌 삼각형을 만들어요. 원래 세 꼭짓점이 일직선에 있지 않으므로 이 벡터들도 나란할 수 없어요. 따라서 세 벡터의 길이는 엄격한 삼각 부등식을 만족해요. 같은 양수 3/2를 곱해도 부등식은 유지돼요. 중선 길이 자체가 다음 조건을 만족해야 해요.
필요한 조건을 찾았다고 곧바로 원래 삼각형을 얻었다고 할 수는 없어요. 이 조건이 충분한지 확인해 볼까요? 길이가 각각 2mₐ/3, 2mᵦ/3인 두 벡터 u, v를 다음 각 φ로 놓아요. 엄격한 삼각 부등식 때문에 오른쪽 값은 −1과 1 사이에 들어가요. 그래서 두 벡터가 나란하지 않은 각을 실제로 고를 수 있어요.
w=−u−v로 정하면 그 길이는 2m𝒸/3입니다. 세 점 u, v, w를 꼭짓점으로 삼자. v와 w의 중점은 −u/2이므로 u에서 그 중점까지의 거리는 3|u|/2=mₐ입니다. 다른 두 중선도 같은 계산으로 mᵦ, m𝒸가 돼요. 두 벡터가 나란하지 않으므로 세 꼭짓점도 일직선에 있지 않아요. 주어진 조건을 만족하는 자료마다 실제 삼각형이 만들어진 거예요.
존재하면 모양은 몇 개일까요? 원래 변의 길이를 a=BC, b=CA, c=AB라 두고 제곱을 구하면 답을 알 수 있어요. w=−u−v에서 내적을 전개하거나 세 벡터의 제곱 관계를 더하면 다음 식을 얻어요.
예를 들어 BC의 벡터는 v−w=u+2v입니다. |u+v|²=|w|²에서 두 벡터의 내적을 구해 |u+2v|²에 넣으면 첫 식이 나와요. 같은 계산을 나머지 두 변에 적용해요. 실제 삼각형의 존재를 이미 확인했으므로 이 세 양의 변 길이가 그 모양을 합동까지 하나로 정해요. 위치나 종이를 뒤집은 방향까지 하나로 정한다는 뜻은 아니에요.
자체 자료 mₐ=2, mᵦ=3, m𝒸=4는 조건을 만족해요. 복원한 세 변은 a=2√46/3, b=2√31/3, c=2√10/3입니다. 중선보다 더 긴 변도 있어요. 중선 하나가 특정 변의 절반이라는 식으로 임의 대응시키지 않고, 세 자료를 함께 써야 해요.
이제 mₐ=1, mᵦ=2, m𝒸=3을 넣어 볼까요? 위 변의 제곱식은 모두 양수이며 a=10/3, b=8/3, c=2/3이 나와요. 그런데 b+c=a입니다. 세 선분이 한 직선으로 펴질 뿐 넓이가 양수인 삼각형은 아니에요. 제곱근 안이 양수라는 검사만 통과하면 된다는 답이 여기서 실패해요.
중선 자료의 가장 큰 값이 나머지 두 값의 합보다 크면 아예 만들 수 없고, 같아도 이번 삼각형은 없어요. 엄격히 작을 때에만 만들 수 있으며, 그때 원래 세 변도 유일해요. 중선의 길이는 변의 길이가 아니지만, 자료 전체의 가능성을 검사할 때는 같은 엄격한 삼각 부등식이 등장해요.
교사는 ‘주어진 자료가 가능한가’와 ‘가능하다면 모양이 하나인가’를 서로 다른 줄에 쓰게 해요. 제공 교재의 중점 좌표와 내적을 역구성과 변의 계산에 썼어요. 중선 정의와 무게중심 2:1 관계는 읽은 AMS 자료에 연결하며, 제공 교재에 이 역복원 정리까지 실려 있다고 주장하지 않아요. 일반 벡터의 합이 0이라는 관찰만 반복하지 않고, 그 점들을 실제 꼭짓점으로 삼았을 때 세 중선이 맞는지 끝까지 확인해요.
착안: AMS, Geometric Re-Constructions, §2.2.2 Center of a triangle, PDF9–10. 자체 중선 자료·역문항·좌표 구성·변 복원 증명이며 원문 그림과 문항을 옮기지 않았어요.