내부점의 가로좌표 a가 b보다 크면 곡선도 잠깐 뒤로 가야 할까요? 네 점으로 정의하는 곡선의 가로좌표만 다음 자체 문항으로 떼어 봐요. a,b는 각각 0 이상 1 이하이며 t도 0~1입니다.
X′(t)/3는 a,b 각각에 대해 1차식이에요. 따라서 a,b를 0이나 1로 놓은 네 값의 가중합으로 쓸 수 있어요. 가중치는 (1−a)(1−b),(1−a)b,a(1−b),ab이며 모두 0 이상이고 합이 1입니다.
네 값은 0~1에서 음수가 아니에요. 0<t<1에서는 세 값이 양수이므로 X′가 0일 수 있는 것은 a=1,b=0,t=1/2인 경우뿐이에요. 이 점 하나를 이유로 증가가 실패한다고 결론 내리지 않아요.
a=1,b=0이면 X(t)=1/2+4(t−1/2)³여서 t가 커질 때 반드시 커져요. 나머지 a,b에서는 내부 도함수가 양수여서 역시 엄격히 증가해요. 연속성과 X(0)=0,X(1)=1을 함께 쓰면 각 입력 가로좌표에 대응하는 t가 하나씩 존재해요.
W3C의 2023년 작업 초안은 내부점의 x좌표를 0~1로 제한하고 x에 대응하는 y를 출력으로 읽어요. 이 글은 구현 방법 대신 그 제한이 가로좌표의 역방향 이동을 막는 이유를 새로 증명했어요. 교사는 a≤b를 임의로 추가한 답과 도함수 0을 곧 감소로 읽은 답을 따로 점검해요.
착안: W3C, CSS Easing Functions Level 1 §2.2. 문항과 수학적 논증은 새로 작성했어요.