네 점으로 만든 곡선에 세제곱 항이 보이면 항상 3차라고 해도 될까요? 다음은 실제 제품의 모델을 복제한 것이 아닌 자체 문항이에요. 점의 계산은 두 좌표에 각각 적용해요.
전개한 뒤 t³의 계수를 모으면 −P0+3P1−3P2+P3입니다. 여기서 두 좌표가 모두 0일 때, 그리고 그때만 두 좌표식이 각각 2차 이하가 돼요. 세제곱 항을 가진 표현 형식과 정리한 뒤 남는 실제 차수는 구별해야 해요.
이차 가중식 C(t)=(1−t)²A+2t(1−t)C+t²D를 네 점으로도 나타낼 수 있어요. 혼동을 피하려고 여기서 C는 가운데 점 이름이고 C(t)는 곡선 이름이에요. 새 네 점을 다음과 같이 정해요.
세제곱 가중식에 대입해 A의 계수를 모으면 (1−t)³+(1−t)²t=(1−t)²입니다. C의 계수는 2(1−t)²t+2(1−t)t²=2t(1−t), D의 계수는 (1−t)t²+t³=t²입니다. 모든 t에서 원래 이차식과 같음을 확인했어요.
A=(0,0),C=(1,2),D=(2,0)이라면 새 점은 (0,0),(2/3,4/3),(4/3,4/3),(2,0)이고 좌표식은 (2t,4t(1−t))입니다. 4개 점으로 표현했지만 두 번째 좌표의 2차항이 0이 아니어서 실제 최대 차수는 2입니다.
Scratchapixel의 가중 다항식 설명을 참고해 기준점 수와 실제 차수를 비교하는 새 문항을 만들었어요. 교사는 “2차 이하” 조건을 구한 답에 3차 계수 소거를 확인하게 하고, 정확히 2차인지 말하려면 2차 계수도 확인하게 해요.
착안: Scratchapixel, Bézier Curve. 문항과 논증은 새로 작성했어요.