자체 예시로 세 점의 회전 방향별 좌표값을 −cosθ, cosθ, sinθ로 놓을게요. 0≤θ≤π/2에서 세 값을 크기순으로 정렬한 가운데 값 M(θ)를 읽어요. 두 값이 같아도 가운데 수는 하나로 정해져요.
π/4에서 가운데를 맡는 점은 바뀌지만 양쪽 값은 √2/2로 이어져요. 다만 좌미분계수는 √2/2, 우미분계수는 −√2/2여서 미분 가능하지 않아요. 점의 이름, 선택된 값의 연속성, 기울기를 각각 판단해야 해요.
이 연속성은 세 점의 특별한 배치 때문일까요? 연속함수 2n+1개를 매 입력에서 정렬해 n+1번째 값을 골라 봐요. 어떤 입력에서 가운데 값이 m이고, 다음 입력까지 모든 개별값의 변화가 ε 이하라고 해 볼까요?
원래 m 이하였던 값은 적어도 n+1개예요. 이 값들은 새 입력에서도 m+ε 이하이므로 새 가운데 값은 m+ε를 넘지 못해요. 반대로 원래 m 이상인 n+1개는 새 입력에서도 m−ε 이상이므로 새 가운데 값이 그 아래로 내려갈 수 없어요.
함수 개수가 유한하므로 각각의 연속성을 만족시키는 입력 범위를 공통으로 작게 고를 수 있어요. 따라서 가운데 값도 연속이에요. 가운데를 차지하는 대상이 바뀐다는 이유만으로 값이 불연속이라고 쓴 답은 이 개수 논증으로 점검해요.
3Blue1Brown의 풍차 문항은 양쪽 점 수를 세어 가운데를 정의해요. 그 관점을 정렬한 값의 변화에 적용한 자체 질문이며 원래 대회 문항이나 영상을 복제하지 않았어요.
착안: 3Blue1Brown, Windmill. 가운데 순서값의 정의: NIST Measures of Location.