전시 배경음악으로 서로 다른 네 곡 A, B, C, D를 한 번씩만 재생한다고 가정할게요. 실제 음원의 길이나 분위기와 무관한 가상 순서 계획이에요. 먼저 첫 곡과 마지막 곡을 정한 후 가운데 두 곡은 나중에 정하려 해요. 처음과 끝을 고르는 방법을 세었다면 완성된 재생 목록도 모두 센 것일까요?
첫 곡은 네 곡 중 하나이고 마지막 곡은 그것과 다른 세 곡 중 하나예요. 양끝을 정하는 방법은 열두 가지예요.
예를 들어 첫 곡을 A, 마지막을 D로 정해도 가운데에 B, C를 놓을지 C, B를 놓을지는 아직 정해지지 않았어요. 열두 가지는 완성된 네 곡 목록보다 덜 구체적인 선택이에요.
각 양끝 선택마다 가운데 두 곡의 순서가 두 가지씩 있어요. 따라서 완성된 목록은 스물네 가지예요. 양끝이 같아도 가운데가 바뀌면 다른 순서로 재생됩니다. 반대로 가운데의 순서를 평가하지 않고 시작과 마무리만 비교한다는 기획이라면 열두 가지를 기준으로 판단할 수 있어요. 무엇을 다른 결과로 인정하는지에 따라 세는 대상이 달라져요.
네 곡을 한 번씩 쓰는 조건도 중요해요. 같은 곡을 반복해도 된다면 마지막 곡의 선택부터 다시 계산해야 해요. 순서 계획을 세울 때 빈 자리를 단계별로 채우고, 아직 정하지 않은 자리가 무엇인지 적어 보세요. 일부를 고른 결과와 전체를 완성한 결과를 섞지 않으면 경우의 수가 늘거나 줄어드는 이유를 설명할 수 있어요.
참고한 수학 개념: NRICH · Three Ball Line Up.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.