가로 20cm, 깊이 15cm, 높이 10cm인 직육면체 상자를 선반에 넣으려 해요. 상자는 변형되지 않고 돌려 놓는 것만 가능하다는 가상 배치예요. 선반의 높이는 12cm, 깊이는 18cm이며 가로는 충분히 넓다고 가정해요. 상자를 돌려도 물건을 담는 부피는 같은데, 왜 어떤 방향에서는 선반에 들어가지 않을까요?
상자의 부피는 세 변 길이를 곱해 계산해요.
같은 세 길이의 순서를 바꾸어도 곱은 같아서 부피는 계속 3000세제곱cm입니다. 회전은 상자 안쪽 공간을 늘리거나 줄이지 않아요. 부피를 L로 표현하면 3L이며 이것도 방향에 관계없는 양이에요.
그러나 높이를 15cm로 놓으면 12cm 높이 선반에 들어가지 않아요. 높이를 10cm, 깊이를 15cm로 놓으면 두 조건을 모두 만족해요. 높이는 10cm라도 깊이를 20cm로 놓으면 선반의 18cm 깊이를 넘어요. 세 길이의 곱 하나만 알아서는 이런 방향별 제한을 판단할 수 없어요. 각 길이가 어느 방향의 조건과 비교되는지 정해야 해요.
실제 배치에서는 문을 여는 방향, 넣고 꺼내는 여유, 선반 구조도 영향을 줄 수 있어요. 이번에는 치수 제한만 확인했어요. 같은 부피라는 판단과 같은 자리에 들어간다는 판단은 달라요. 공간을 계획할 때 부피로 물건의 총량을 비교하되, 설치 가능성은 방향별 길이로 따로 점검하면 모순처럼 보이는 상황을 설명할 수 있어요.
참고한 수학 개념: NRICH · Making Cuboids.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.