네 칸이 일렬로 이어진 가상 장식 띠를 만들어요. 각 칸은 검정과 흰색 중 하나를 같은 확률로 고르고, 네 선택은 서로 독립이에요. 검정 칸의 개수는 미리 정하지 않아요. 한 칸이 검정일 가능성이 절반이니 전체 띠가 좌우 대칭일 가능성도 절반일까요? 색의 사건과 대칭의 사건은 서로 달라요.
네 칸을 고르는 전체 무늬는 열여섯 가지예요. 왼쪽부터 첫째와 넷째 색이 같고, 둘째와 셋째 색도 같아야 좌우 대칭이에요. 앞의 두 색을 정하면 뒤의 두 색은 거울처럼 따라 정해져요.
대칭 무늬는 네 가지이고 확률은 25%입니다. 각 무늬는 네 번의 독립 선택으로 같은 확률을 가져요.
검정을 1, 흰색을 0으로 적으면 대칭 목록은 0000, 0110, 1001, 1111입니다. 검정이 전혀 없거나 모든 칸이 검정인 무늬도 좌우 대칭이에요. 정확히 두 칸만 검정이라는 추가 조건이 있었다면 전체 가능한 목록부터 달라지므로 이번 분모 열여섯을 그대로 쓰면 안 돼요. 어떤 제약을 미리 두었는지 먼저 확인해야 해요.
이번 대칭은 띠의 가운데에서 왼쪽과 오른쪽을 뒤집는 기준이에요. 무늬 전체를 돌리거나 다른 축을 허용하는 질문과는 구별해요. 한 번의 선택 확률을 전체 도형의 성질로 바로 옮길 수 없다는 점이 핵심이에요. 대칭이 되려면 어떤 칸끼리 함께 맞아야 하는지를 짝으로 표시하면, 복잡한 그림 없이도 전체 사건의 확률을 설명할 수 있어요.
참고한 수학 개념: NRICH · Pieces of Eight.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.