내부 용량이 1L인 가상 컵 모형을 준비해요. 재료 두께는 무시하고 모양이 정확히 닮도록 줄일 수 있다고 가정해요. 높이가 절반인 작은 컵을 만들면 용량도 절반일까요, 1/8일까요? 높이만 반으로 바꾸는지 가로와 세로의 길이도 모두 반으로 바꾸는지에 따라 답이 달라져요.
모든 내부 길이를 절반으로 줄이면 바닥의 넓이는 1/4이 돼요. 여기에 높이도 1/2이 되어 부피는 1/8로 줄어들어요.
처음 1L는 1000mL이므로 닮은 작은 컵의 용량은 125mL입니다. 길이 배율을 세 번 곱하는 이유는 부피가 세 방향의 크기에 영향을 받기 때문이에요.
반면 같은 바닥과 같은 옆면 모양에서 높이만 절반으로 잘라 만든 직기둥형 컵이라면 용량은 500mL입니다. 이때 바닥 넓이는 변하지 않고 높이만 줄었어요. 높이가 반이라는 한 문장만으로는 어떤 축소를 했는지 알 수 없어요. 또 위로 퍼지는 컵을 중간에서 자르는 경우에는 단순한 절반 계산을 그대로 사용할 수 없어요.
사진에서 작은 컵이 절반 높이로 보인다고 용량을 바로 단정하지 마세요. 닮음 축척인지, 한 방향만 바뀐 것인지, 내부 모양이 무엇인지 확인해야 해요. 이번 가상 두 모형은 길이의 축척과 부피의 축척이 다른 이유를 비교해요. 같은 높이 조건에도 서로 다른 용량이 가능하다는 점을 모든 길이의 변화와 연결해 설명할 수 있어요.
참고한 수학 개념: NRICH · Little Man.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.