가상의 원판 장식을 첫 줄1개, 둘째 줄3개, 셋째 줄5개처럼 매번 두 개씩 늘려 만들어요. 원판은 모두 같은 크기이고 한 줄을 시작하면 그 줄을 끝까지 완성하는 것이 규칙이에요. 재고는72개이며 원판을 쪼개거나 다른 줄에서 옮기지 않아요. 아홉 줄을 모두 만들 수 있을까요? 줄수와 마지막 줄의 개수를 구별해 보세요.
홀수1,3,5를 더하면9이고 여기에7을 더하면16입니다. 이처럼 처음n개의 홀수를 합하면n²개가 돼요. 여덟 줄까지는64개가 필요하고 아홉 줄까지는81개가 필요합니다.72개는 두 값 사이에 있으므로 완성할 수 있는 최대 줄수는 여덟이에요.
여덟 줄 뒤 남는 원판은72-64=8개예요. 하지만 아홉째 줄에는2×9-1=17개가 필요해서 아홉 개가 모자랍니다. 남는 여덟 개가 있다는 사실과 다음 줄 하나를 완성할 수 있다는 사실은 달라요. 재고를 여덟 줄에 균등하게9개씩 나누면72개를 모두 쓰지만 처음에 정한 홀수줄 무늬를 지키지 못해요.
처음n개 홀수의 합이제곱수가 되는 것은n칸 정사각 배열에 가로·세로 테두리를 한 단계씩 붙여도 설명할 수 있어요. 여기서는 그 개수 관계만 사용한 가상 장식이며 사진의 실제 배열을 센 결과는 아니에요. 준비량을 판단할 때 남는 물건이0인지보다 다음 완성 단위에 필요한 개수가 얼마인지 확인하면 재고의 쓰임을 정확히 읽을 수 있어요.
수학 개념 참고: NRICH · Circles, Circles.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.