가상의 실험에서 공정한 동전 두 개를 독립적으로 던집니다. 전체 기록의 HH, HT, TH, TT는 각각 확률 1/4입니다. H는 앞면, T는 뒷면이에요. 기록 담당자는 두 동전이 같은 면으로 나온 시행만 남겼습니다. 각 동전의 앞면 비율이 여전히 절반이니 남은 기록에서도 두 동전이 독립이라고 해도 될까요? 동전의 물리적 성질은 그대로예요.
남은 가능성은 HH와 TT뿐이며 각각 조건부 확률 1/2입니다. 이 기록에서 첫 동전의 앞면 확률도 1/2, 둘째 동전의 앞면 확률도 1/2입니다. 그러나 둘 다 앞면일 확률은 1/2입니다. 만약 남은 두 결과가 독립이라면 둘 다 앞면일 확률은 (1/2)×(1/2)=1/4이어야 하므로 계산이 맞지 않아요. 각 동전의 앞면 비율이 반반이라는 사실만으로 독립을 판단할 수 없어요.
더 직접 확인하면 남은 기록에서 첫 동전이 H라는 사실을 알 때 둘째는 반드시 H입니다. 조건부 확률은 1이지 1/2이 아니에요. 처음 실험에서는 첫 결과를 알아도 둘째의 앞면 확률이 바뀌지 않았지만, 두 결과가 같다는 조건을 먼저 걸고 나면 한 결과가 다른 결과를 완전히 알려 줘요. 독립의 대상 집단이 달라진 거예요.
이 실험은 계산을 위한 가상 설정이에요. 전체 실험의 독립성이 틀린 것도, 동전이 서로 영향을 주기 시작한 것도 아니에요. 같은 면이라는 조건으로 일부 결과를 남긴 기록 안에서 관계가 생겼습니다. 자료를 추린 다음 확률을 곱할 때는 처음 장치의 독립성뿐 아니라 남기는 조건이 두 결과를 함께 묶는지 살펴야 해요. 변하지 않은 각자의 비율과 독립이라는 성질을 구분해야 해요.
수학 개념 참고: NRICH · Flippin' Discs.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.