가상의 탁상 경기에서 먼저 두 판을 이기는 쪽이 최종 승자예요. 한 참가자는 매 판 승리 확률이 60%이고 각 판의 결과는 독립이에요. 지금 첫 판을 이미 이겨 1승 0패예요. 남은 경기에서 최종 승리할 확률을 구할 때 첫 판을 이길 60%부터 다시 곱해야 할까요? 지금 묻는 것은 경기 시작 전이 아니라 현재 점수 아래의 가능성이에요.
현재 참가자가 최종적으로 지려면 다음 두 판을 모두 져야 해요. 그 확률은 0.4×0.4=0.16입니다. 따라서 지금 최종 승리할 확률은 1-0.16=0.84, 곧 84%입니다. 다음 판에서 바로 이길 0.6과, 다음 판에서 진 뒤 마지막 판을 이길 0.4×0.6을 더해도 0.84입니다. 현재의 첫 승리는 이미 주어진 조건이에요.
0.6×0.84=0.504는 다른 사건을 나타내요. 경기 시작 전에 첫 판도 이기고 최종 승리도 할 확률이에요. 경기 전 전체 최종 승리 확률은 첫 승리 뒤 승리할 0.504와 첫 패배 뒤 두 연승할 0.4×0.6²=0.144를 더한 0.648입니다. 경기 전 64.8%와 현재 84%는 서로 다른 정보 시점에서 계산한 값이에요.
경기와 확률은 모두 가상이며 실제 선수의 실력을 설명하는 자료가 아니에요. 첫 판 결과가 이후 실력이나 경기 조건을 바꾼다면 일정하고 독립적인 60%라는 모형을 다시 확인해야 해요. 이미 일어난 결과까지 다시 곱하면 현재 질문을 과거와 현재가 함께 일어나는 사건으로 바꾸게 돼요. 확률을 적을 때는 언제의 정보로 무엇을 예측하는지 함께 남겨야 해요.
수학 개념 참고: NRICH · Snooker Frames.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.