가상 알림 장치는 같은 전원을 사용하며 한 대만 작동해도 알림에 성공해요. 작업마다 공통 전원이 실패할 확률은2퍼센트예요. 전원이 정상인 조건에서 각 장치의 실패 확률은10퍼센트이고 장치끼리 독립이에요. 전원이 실패하면 모든 장치가 멈춰요. 장치를 계속 추가하면 전체 실패 위험을2퍼센트보다 낮출 수 있을까요?
전체 실패는 전원이 실패한 경우와,전원이 정상인데 장치가 모두 실패한 경우를 더해요. 두 경우는 겹치지 않아요. 장치 수를 양의 정수 n대라고 하면
입니다. 두 대일 때0.0298로2.98퍼센트,세 대일 때0.02098로2.098퍼센트예요. 세 번째 장치는 위험을0.882퍼센트포인트 낮추지만 공통 전원 부분은 그대로 남아요.
장치가 늘수록 정상 전원 조건에서 모두 실패할 확률은 작아집니다. 하지만 그 양은 음수가 될 수 없으므로 전체 실패는 최소한 공통 전원 실패율2퍼센트를 포함해요. 유한한 장치 수에서는 뒤의 항도 양수라2퍼센트보다 커요. 아무리 많이 추가해도 이번 모형에서2퍼센트 미만이라는 목표에 도달하지 못해요. 장치 추가가 도움이 된다는 사실과 모든 목표를 달성한다는 주장은 달라요.
이번 확률은 실제 제품이나 시설의 성능이 아닌 가상 모형이에요. 목표가2퍼센트 미만이라면 장치 수만 바꾸는 선택으로는 부족하다는 답을 얻었어요. 공통 원인의 발생 조건까지 달라져야 해요. 서로 독립이라는 말도 전원이 정상인 조건 안에서만 사용했어요. 이 조건을 지우고 전체 실패를 단순 거듭제곱으로 계산하면 남는 위험을 놓쳐요. 개선안을 비교할 때에는 감소하는 항과 그대로 유지되는 항을 나누어 보세요.
참고한 수학 개념: NRICH · At Least One….
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.