낮은 소리가 안 보여도, 기본 진동수를 찾을 수 있을까요?

녹음 분석 화면에서 가장 낮은 봉우리를 찾으면 그 값이 곧 기본 진동수일까요? 가상 소리에 300Hz, 450Hz, 600Hz 성분만 있다고 하겠습니다. Hz는 1초 동안의 진동 횟수예요. 세 값이 모두 어떤 양수 $f$의 정수배라는 모형에서, 가능한 $f$ 중 가장 큰 값을 찾아봅니다. 화면에 나타난 봉우리가 전부라는 가정까지는 필요하지만, 기본 성분 자체가 화면에 있어야 한다고 가정하지는 않아요.

300과 450의 차이는 150입니다. 두 값이 $f$의 정수배이면 차이도 정수배이므로 $150=kf$인 양의 정수 $k$가 있어요. 따라서 $f$는 150보다 클 수 없어요. 실제로 150을 넣으면 세 값이 모두 정수배가 돼요.

답은 이 조건에서 가장 큰 기본값인 150Hz입니다. 300Hz는 관측된 가장 낮은 성분이지만, 450을 정수배로 나타내지 못해요. 한편 75Hz도 세 값을 4·6·8배로 나타낼 수 있어요. 그래서 ‘정수배로 설명할 수 있는 값’만 요구하면 답은 하나가 아니며, 가장 크다는 조건을 함께 적어야 해요.

이 계산은 귀가 실제로 느끼는 음높이를 판정한 실험이 아니에요. 소리 성분의 목록과 정수배 모형이 제공하는 정보의 범위를 확인하는 활동이에요. 낮은 봉우리가 없다고 낮은 기본값까지 불가능한 것은 아니라는 점이 핵심이에요.

참고한 수학 개념: IMAGINARY · The Spectrum of Sound – Analyzer.

이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.