천 위에 방향이 구별되는 비대칭 잎 무늬를 찍는 가상 디자인을 생각해 볼까요? 무늬를 가로 기준선에 뒤집어 옮기면서 오른쪽으로 30cm씩 밀어 놓아요. 그냥 같은 방향으로 찍는 간격과, 뒤집으며 반복하는 간격이 같은지 궁금해집니다.
가로 위치 x와 기준선 위아래 위치 y를 cm 단위로 적겠습니다. 한 동작을 G라고 부르면, 가로는30 늘고 세로의 부호는 반대가 돼요. 이처럼 반사와 그 축을 따르는 이동을 함께 하는 변환을 활주반사라고 해요.
예를 들어 표시점(0,4)은 먼저(30,-4)로, 다시(60,4)로 가요. 두 동작 뒤에는 위아래 방향이 원래대로 돌아오지만 시작 자리로 돌아오는 것은 아니에요. 반사는 두 번 적용되어 사라지고, 오른쪽 이동 두 번은 더해지기 때문이에요.
무늬를 겹치지 않는 같은 크기로 찍고, 다른 우연한 반복은 없다고 정하면, 방향까지 같은 다음 무늬의 가로 간격은60cm입니다.30cm 간격에는 뒤집힌 무늬가 있어요. 기준선에서 뒤집는 동작 없이30cm만 옮겨도 일치한다고 판단하면 잎의 방향을 놓쳐요. 천 무늬의 반복은 간격과 변환 종류를 함께 읽어야 해요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Symmetry Groups and Wallpapers.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.