큰 천체와 작은 천체 사이에서 중력이 균형을 이루는 곳은 가운데일까요? 왼쪽 질량이 M, 오른쪽 질량이 9M인 가상의 두 점질량을 일직선에 고정하고, 두 점 사이 거리는 12L이라고 해 볼까요? L은 길이 단위이며 M과 L은 양수예요. 실제 천체가 정지한 우주를 가정하는 것이 아니라 중력의 거리 관계만 살피는 순간 모형이에요.
작은 시험 질량을 두 천체 사이에 놓고, 왼쪽으로부터의 거리를 xL이라고 써요. 0<x<12입니다. 중력 상수와 질량의 공통 항을 묶어 K라고 하면, 양쪽 힘의 크기는 각각 K/x²와 9K/(12−x)²입니다. 방향이 반대이므로 둘의 크기가 같아야 합력이 0입니다.
두 거리가 모두 양수이므로 제곱근을 취하면 12−x=3x가 되고, x=3입니다. 답은 작은 질량에서 3L, 큰 질량에서 9L 떨어진 점이에요. 큰 질량은 아홉 배지만 거리가 세 배라 거리 제곱의 아홉 배와 상쇄돼요.
가운데 x=6에서는 양쪽 거리가 같아 큰 질량 쪽 힘이 아홉 배이므로 균형이 아니에요. 이 점을 실제 우주선의 안전한 주차 위치로 해석하지는 않아요. 회전과 운동을 포함한 궤도 문제는 추가 힘과 조건이 필요해요. 여기서는 두 중력의 크기를 같게 만드는 한 위치를 도출했어요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: Newton’s law of universal gravitation.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.