신호를 두 속도로 재면, 진짜 주파수가 하나로 정해질까요?

신호는 x(t)=cos(2πft), f는 1부터34까지의 정수 Hz입니다. 5Hz와7Hz로 각각 표집한 값이 두 경우 모두 2Hz 신호의 표집값과 같다고 해요. 모든 정수 n≥0에서 다음 등식이 성립할 때 가능한 f를 모두 구해 볼까요?

n=1의 코사인 등식에서 f≡±2 (mod5), f≡±2 (mod7)가 나와요. 이 조건이면 모든 n에서도 등식이 성립해요. 범위 안에서 두 조건을 함께 만족하는 값은

추가로 f<10이라는 사전 범위를 주어야 이 예에서는 2만 남아요.

5Hz 자료만 보면 2와 같은 나머지뿐 아니라 −2와 같은 나머지도 코사인에서 구별되지 않아요. 7Hz 자료도 같은 두 방향을 허용해요. 두 관측을 결합하면 후보가 줄지만 자동으로 하나가 되는 것은 아니에요. 35 간격의 반복과 네 부호 조합이 남는 이유를 정수 나머지로 확인할 수 있어요.

TI의 aliasing과 주파수 계획 설명에서 착안한 자체 정수 주파수 모형이에요. 잡음·위상·여러 주파수가 섞인 실제 신호 복원의 일반 해법이라고 주장하지 않아요. 두 표집은 같은 위상 0 코사인, 정확한 시각 n/5와 n/7로 정의했어요.

교사는 “관측을 두 번 했다”라는 말 대신 후보 집합 두 개와 교집합을 쓰게 해요. 독립 관측 횟수를 늘렸다는 표현과, 수학적으로 어느 주파수를 제외했는지를 구별해요.

착안: Chris Pearson, High-Speed, Analog-to-Digital Converter Basics, SLAA510 (January 2011). 수치·문항·해설은 자체 교육용으로 작성했어요.