1Hz 코사인 신호를 정확히 2Hz로 표집해 t=n/2에서만 관측해요. 아래 두 신호의 관측값을 비교하고, 관측 최고값1이 실제 진폭1을 보장하는지 판단해 볼까요?
정수 n에서 x(n/2)=(-1)ⁿ이고 y(n/2)=2(-1)ⁿcos(π/3)=(-1)ⁿ입니다. 그러나
진폭은 각각1과2입니다. 표집된 최고값만으로 실제 진폭을 정할 수 없어요.
일반 신호 A cos(2πt+φ)를 같은 시각에서 재면 관측값은 (−1)ⁿA cosφ입니다. 자료는 A와 φ를 각각 알려 주지 않고 두 값의 곱만 남겨요. 느린 신호와 빠른 신호의 혼동이 없어도, 같은 주파수 안에서 다른 진폭·위상이 남아요.
TI 문서의 표집 경계 조건을 자체 단일 코사인 반례로 확인했어요. “한 주기에 두 점”이라는 횟수만 세어 정보가 충분하다고 말하지 않고 표집 시각과 위상을 함께 읽어요. 잡음이나 기기오차가 없어도 이 두 모형은 같은 자료를 만들어요.
교사는 위상을0으로 알고 있다는 조건을 넣었을 때와 모른다는 조건을 비교하게 해요. 이 예에서 추가 관측 t=1/4은 두 후보를 구별하지만, 일반적인 신호 복원을 단 한 점으로 보장한다는 결론까지 늘리지 않아요.
착안: Chris Pearson, High-Speed, Analog-to-Digital Converter Basics, SLAA510 (January 2011). 수치·문항·해설은 자체 교육용으로 작성했어요.