좌우 대칭인 분포면 평균도 항상 0일까?

표준 코시 분포의 밀도는 아래와 같다. 학생은 모든 R>0에서 대칭 구간의 적분이0이므로 평균도0이라고 썼다. 양수 쪽 적분을 계산해 이 결론을 검토하라. ln은 자연로그다.

f(x)=\frac1{\pi(1+x^2)},\qquad \int_{-R}^{R}x f(x)\,dx=0.

대칭 구간에서는 홀함수가 상쇄되지만, 양수 쪽은

\int_0^R\frac{x}{\pi(1+x^2)}\,dx =\frac{\ln(1+R^2)}{2\pi}\longrightarrow\infty.

음수 쪽은 −∞로 발산한다. 두 쪽의 유한 평균이 존재하지 않으므로 평균0이라고 할 수 없다.

큰 양수와 음수를 같은 길이 구간으로 잘라 더하면 매번0이지만, 그 상쇄 규칙 자체를 기대값의 정의로 바꾸면 안 된다. 확률밀도 전체 넓이가1이라는 조건과 |x|를 곱해도 적분이 유한하다는 조건은 다르다. 이 분포에서는 두 번째가 실패한다.

NIST는 코시 분포의 중앙값은0이지만 평균이 정의되지 않는다고 명시한다. 교재의 유한 구간 연속 평균 식을 무한 범위에 확대할 때 어떤 조건이 추가되는지 보는 확장 문항이다. 이 글은 모든 대칭 분포에 평균이 없다는 뜻도, 표본의 산술평균을 계산할 수 없다는 뜻도 아니다.

교사는 같은 기호0을 쓴 두 줄을 구별하게 한다. 첫 줄은 유한한 대칭 구간의 적분, 다음 결론은 무한 범위 확률분포의 기대값이다. 넓히는 과정에 수렴 조건이 있는지 확인한다.

착안: NIST/SEMATECH e-Handbook, 1.3.6.6.3 Cauchy Distribution. 수치·문항·해설은 자체 교육용으로 작성했다.